Question

（2013•肇慶二模）下列函數為奇函數的是（　　）

• A．y=|sinx|
• B．y=2^x+2^-x
• C．y=ln|x|
• D．y=ln

  1-x

  1+x

Answer 1

分析：根據正弦函數為奇函數，結合絕對值的性質證出y=|sinx|是偶函數，得A項不符合題意；根據偶函數的定義加以證明，可得函數y=2^x+2^-x是偶函數，得B項不符合題意；根據絕對值的意義，結合奇偶性的定義證出y=ln|x|是偶函數，得C項不符合題意．最后利用奇偶性的定義加以證明，得到函數y=ln

1-x

1+x

在其定義域上為奇函數，得D項符合題意．

解答：解：∵y=|sinx|滿足f（-x）=|sin（-x）|=|-sinx|=|sinx|=f（x）
∴函數y=|sinx|是偶函數，不是奇函數．得A項不符合題意；
∵y=2^x+2^-x滿足f（-x）=2^-x+2^-（-x）=2^-x+2^x=f（x）
∴函數y=2^x+2^-x是偶函數，不是奇函數．得B項不符合題意；
∵y=ln|x|滿足f（-x）=ln|-x|=ln|x|=f（x）
∴函數y=ln|x|是偶函數，不是奇函數．得C項不符合題意；
因此，只有D項是奇函數，證明如下
設f（x）=ln

1-x

1+x

，則f（-x）=ln

1+x

1-x

∴f（x）+f（-x）=ln

1-x

1+x

+ln

1+x

1-x

=ln（

1-x

1+x

•

1+x

1-x

）=ln1=0，可得f（-x）=-f（x），
因此函數y=ln

1-x

1+x

在其定義域（-1，1）上為奇函數，得到D項符合題意
故選：D

點評：本題給出幾個基本初等函數，要我們找出其中的奇函數，著重考查了函數的奇偶性及其判斷方法、基本初等函數的奇偶性等知識，屬于基礎題．