Question

已知橢圓C的方程是

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），斜率為1的直線l與橢圓C交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）兩點．
（Ⅰ）若橢圓的離心率e=

3

2

，直線l過點M（b，0），且

OA

•

OB

=

32

5

cot∠AOB，求橢圓的方程；
（Ⅱ）直線l過橢圓的右焦點F，設向量

OP

=λ(

OA

+

OB

)（λ＞0），若點P在橢圓C上，求λ的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用離心率求得a和b的關系，將直線l的方程代入到橢圓方程則可表示出A，B的坐標，利用∠AOB=

π

2

+∠AOx推斷出cot∠AOB=-tan∠AOx=-

3

8

，利用題設等式求得b，進而求得a，則橢圓的方程可得．
（2）將y=x-c代入到橢圓方程，進而表示出

OA

+

OB

，進而根據

OP

=λ(

OA

+

OB

)表示出

OP

代入橢圓的方程求得λ的表達式，設橢圓的離心率為e，進而根據0＜e＜1求得λ的范圍．

解答：解：（1）∵e=

3

2

，
∴a=2b，c=

3

b，將直線l的方程y=x-b代入到橢圓方程x²+4y²=4b²中，
得B(0，-b)，A(

8b

5

，

3b

5

)．又∠AOB=

π

2

+∠AOx，
∴cot∠AOB=-tan∠AOx=-

3

8

，從而由

OA

•

OB

=

32

5

cot∠AOB，
得-

3b2

5

=-

3

8

×

32

5

∴b²=4，a²=16即橢圓的方程為：

x2

16

+

y2

4

=1
（2）將y=x-c代入到橢圓方程，
得（b²+a²）x²-2a²cx+a²（c²-b²）=0

OA

+

OB

=(

2a2c

a2+b2

，

-2b2c

a2+b2

)，
故∴

OP

=(

2λa2c

a2+b2

，

-2λb2c

a2+b2

)，
又點P在橢圓上，從而b2(

2a2c

a2+b2

)2+a2(

-2b2c

a2+b2

)2-a2b2=0，
化簡得λ2=

a2+b2

4c2

，設橢圓的離心率為e，
則0＜e＜1，且λ2=

1

2e2

-

1

4

∈(

1

4

，+∞)，故λ的取值范圍為(

1

2

，+∞)

點評：本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問題．考查了學生的基本的分析問題的能力和綜合運用所學知識的能力．