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已知A、B、C三點的坐標分別是A（3，0）、B（0，3）、C（cosα，sinα），其中
π
2
＜α＜
3π
2
．
（1）若|
AC
|=|
BC
|，求角α的值；
（2）若
AC
•
BC
=-1，求sinα-cosα．
分析：（1）根據向量模的公式，將|
AC
|=|
BC
|表示為關于α的方程，化簡整理得tanα=1，再結合α∈（
π
2
，
3π
2
）可得角α的值；
（2）根據向量數量積的坐標公式，代入
AC
•
BC
=-1，化簡得sinα+cosα=
2
3
，平方整理得2sinαcosα=-
5
9
＜0，從而得出α為鈍角，最后根據同角三角函數的平方關系，算出sinα-cosα=
14
3
．
解答：解：（1）
AC
=(cosα-3，sinα)，
BC
=(cosα，sinα-3)．…（1分）
∴|
AC
|=
(cosα-3)2+sin2α
=
10-6cosα

|
BD
|=
cos2α+(sinα-3)2
=
10-6sinα

由|
AC
|=|
BC
|，得sinα=cosα⇒tanα=1，…（3分）
∵
π
2
＜α＜
3π
2
，∴α=
5π
4
  …（4分）
（2）由
AC
•
BC
=-1，得 cosα（cosα-3）+sinα（sinα-3）=-1，
化簡，得sinα+cosα=
2
3
＞0，
兩邊平方得，（sinα+cosα）2=1+2sinαcosα=
4
9
．
∴2sinαcosα=-
5
9
…（6分）
∵
π
2
＜α＜
3π
2
，∴sinα＞0且cosα＜0
∴sinα-cosα=
(sinα-cosα)2
=
1-2sinαcosα
=
1+
5
9
=
14
3
（舍負） …（8分）
點評：本題給出向量的坐標，在模相等的情況下求角α的值．著重考查了平面向量的坐標運算、向量的數量積和三角函數恒等變形等知識，屬于基礎題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

已知A，B，C三點的坐標分別是A（3，0），B（0，3），C（cosα，sinα），α∈(
π
2
，
3π
2
)，若
AC
•
BC
=-1，則
1+tanα
2sin2α+sin2α
的值為（　　）
A、-
5
9
B、-
9
5
C、2
D、3

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知A、B、C三點的坐標分別為A（3，0）、B（3，0）、C（cosα，sinα）且
AC
•
BC
=-
1
2
．求：
（Ⅰ）sinα+cosα的值；
（Ⅱ）
sin(π-4α)•cos2(π-α)
1+sin(
π
2
+4α)
的值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知A，B，C三點的坐標分別為A（0，1），B（2，2），C（3，5），則cosA=（　　）

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知A，B，C三點的坐標分別是A(0，
3
2
)，B（0，3），C（cosθ，sinθ），其中
π
2
＜θ＜
3π
2
，且|
AC
|=|
BC
|．
（1）求角θ的值；
（2）當0≤x≤
π
2
時，求函數f（x）=2sin（2x+θ）的最大值和最小值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知A、B、C三點的坐標分別為（1，1）、（3，2）、（2，k+1），若△ABC為等腰三角形，求k的值．

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