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(2013•湖北)已知等比數列{an}滿足:|a2-a3|=10,a1a2a3=125.
(Ⅰ)求數列{an}的通項公式;
(Ⅱ)是否存在正整數m,使得
1
a1
+
1
a2
+…+
1
am
≥1
?若存在,求m的最小值;若不存在,說明理由.
分析:(I)設等比數列{an}的公比為q,結合等比數列的通項公式表示已知條件,解方程可求a1,q,進而可求通項公式
(Ⅱ)結合(I)可知{
1
an
}
是等比數列,結合等比數列的求和公式可求
1
a1
+
1
a2
+…+
1
an
,即可判斷
解答:解:(Ⅰ)設等比數列{an}的公比為q,則由已知可得
a
3
1
q3=125
|a1q-a1q2|=10

解得
a1=
5
3
q=3
a1=-5
q=-1.

an=
5
3
3n-1,或an=-5•(-1)n-1

(Ⅱ)若an=
5
3
3n-1
,則
1
an
=
3
5
•(
1
3
)n-1

{
1
an
}
是首項為
3
5
,公比為
1
3
的等比數列,
從而
m
n=1
1
an
3
5
[1-(
1
3
)
m
]
1-
1
3
=
9
10
•[1-(
1
3
)m]<
9
10
<1

an=(-5)•(-1)n-1,則
1
an
=-
1
5
(-1)n-1,故{
1
an
}
是首項為-
1
5
,公比為-1的等比數列,
從而
m
n=1
1
an
=
-
1
5
,m=2k-1(k∈N+)
0,m=2k(k∈N+).
m
n=1
1
an
<1

綜上,對任何正整數m,總有
m
n=1
1
an
<1

故不存在正整數m,使得
1
a1
+
1
a2
+…+
1
an
≥1
成立.
點評:本題主要考查了等比數列的通項公式及求和公式的綜合應用,還考查了一定的邏輯推理與運算的能力
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1
2
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,則A∩?RB=(  )

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π
4
,則雙曲線C1
x2
sin2θ
-
y2
cos2θ
=1
與C2
y2
cos2θ
-
x2
sin2θ
=1
的(  )

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