Question

（2013•湖北）已知等比數列{a_n}滿足：|a₂-a₃|=10，a₁a₂a₃=125．
（Ⅰ）求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）是否存在正整數m，使得

1

a1

+

1

a2

+…+

1

am

≥1？若存在，求m的最小值；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（I）設等比數列{a_n}的公比為q，結合等比數列的通項公式表示已知條件，解方程可求a₁，q，進而可求通項公式
（Ⅱ）結合（I）可知{

1

an

}是等比數列，結合等比數列的求和公式可求

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

，即可判斷

解答：解：（Ⅰ）設等比數列{a_n}的公比為q，則由已知可得

a 3 1 q3=125 |a1q-a1q2|=10

解得

a1= 5 3 q=3

或

a1=-5 q=-1.

故an=

5

3

•3n-1，或an=-5•(-1)n-1．
（Ⅱ）若an=

5

3

•3n-1，則

1

an

=

3

5

•(

1

3

)n-1，
故{

1

an

}是首項為

3

5

，公比為

1

3

的等比數列，
從而

m

n=1

1

an

3 5 [1-( 1 3 )m]

1- 1 3

=

9

10

•[1-(

1

3

)m]＜

9

10

＜1．
若an=(-5)•(-1)n-1，則

1

an

=-

1

5

(-1)n-1，故{

1

an

}是首項為-

1

5

，公比為-1的等比數列，
從而

m

n=1

1

an

=

- 1 5 ，m=2k-1(k∈N+) 0，m=2k(k∈N+).

故

m

n=1

1

an

＜1．
綜上，對任何正整數m，總有

m

n=1

1

an

＜1．
故不存在正整數m，使得

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

≥1成立．

點評：本題主要考查了等比數列的通項公式及求和公式的綜合應用，還考查了一定的邏輯推理與運算的能力