Question

簡化北京奧動會主體育場“鳥巢”的鋼結構俯視圖如圖所示，內外兩圈的鋼骨架是離心率相同的橢圓，外層橢圓頂點向內層橢圓引切線AC．BD．設內層橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），則外層橢圓方程可設

x2

(ma)2

+

y2

(mb)2

=1（a＞b＞o，m＞1）．若AC與BD的斜率之積為-

9

16

，則橢圓的離心率為

 

．

Answer 1

分析：設出切線AC和BD的方程，與橢圓方程聯立消去y，根據判別式等于0求得k₁和k₂的表達式，根據AC與BD的斜率之積求得a和b的關系，進而求得a和c的關系，橢圓的離心率可得．

解答：解：設切線AC的方程為y=k₁（x-ma），則

y=k 1(x-ma) (bx)2+(ay) 2=(ab) 2

消去y得（b²+a²k₁²）x²-2ma³k₁²x+m²a⁴k₁²-a²b²=0
由△=0?k₁²=

b2

a2

•

1

m2-1

，同理k₂²=

b2

a2

•（m²-1）
∴k₁²•k₂²=

b4

a4

∴

b2

a2

=

9

16

，
∴e=

7

4

，
故答案為：

7

4

點評：本題主要考查了橢圓的簡單性質和直線與橢圓的位置關系．考查了學生綜合分析問題和解決問題的能力，還有基本的運算能力．