Question

已知函數f(x)=cos(

π

3

+x)cos(

π

3

-x)，g(x)=

1

2

sin2x-

1

4

．
（1）求函數f（x）的最小正周期；
（2）求函數h（x）=f（x）-g（x）的單調遞增區間；
（3）當x∈[0，

π

2

]時，求函數h（x）的最大值與最小值．

Answer 1

分析：（1）先利用兩角和差的余弦公式和二倍角公式，將函數f（x）化為y=Acos（ωx+φ）型函數，再利用周期計算公式得函數的最小正周期；
（2）先利用兩角和的余弦公式將函數h（x）化為y=Acos（ωx+φ）型函數，再將內層函數看作整體放到余弦曲線的增區間上，即可解得函數的單調增區間；
（3）先求內層函數的值域，再利用余弦函數的圖象和性質求整個函數的值域，從而得其最值

解答：解：（1）f(x)=cos(

π

3

+x)cos(

π

3

-x)=(

1

2

cosx-

3

2

sinx)(

1

2

cosx+

3

2

sinx)
=

1

4

cos2x-

3

4

sin2x=

1+cos2x

8

-

3-3cos2x

8

=

1

2

cos2x-

1

4

，
所以周期T=

2π

2

=π
（2）h（x）=f（x）-g（x）=

1

2

cos2x-

1

2

sin2x=

2

2

cos(2x+

π

4

)，
由2kπ-π≤2x+

π

4

≤2kπ，得kπ-

5π

8

≤x≤kπ-

π

8

，k∈Z
∴函數h（x）=f（x）-g（x）的單調遞增區間為[kπ-

5π

8

，kπ-

π

8

](k∈Z)
（3）由（2）知h(x)=

2

2

cos(2x+

π

4

)，
當x∈[0，

π

2

]時，

π

4

≤2x+

π

4

≤

5π

4

，
∴當2x+

π

4

=

π

4

，即x=0時，h(x)max=

1

2

，
當2x+

π

4

=π，即x=

3π

8

時，h(x)min=-

2

2

∴函數h（x）的最大值與最小值分別為

1

2

，-

2

2

點評：本題主要考查了三角變換公式的運用，y=Acos（ωx+φ）型函數的圖象和性質，整體代換的思想方法