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已知函數,函數

①當時,求函數的表達式;

②若,函數在上的最小值是2 ,求的值;

③在②的條件下,求直線與函數的圖象所圍成圖形的面積.

 

【答案】

⑴.⑵.⑶=.

【解析】

試題分析：⑴∵,

∴當時,; 當時,

∴當時,; 當時,.

∴當時,函數.

⑵∵由⑴知當時,,

∴當時, 當且僅當時取等號.

∴函數在上的最小值是,∴依題意得∴.

⑶由解得

∴直線與函數的圖象所圍成圖形的面積

=.

考點：本題主要考查導數計算，應用導數研究函數的單調性、最值，定積分計算。

點評：典型題，在給定區間，導數值非負，函數是增函數，導數值為非正，函數為減函數。求最值的步驟：計算導數、求駐點、討論駐點附近導數的正負、確定極值、計算的導函數值比較大小。

 

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f（x）=x2+（k-2）x+2k-1
（1）若f（1）=16，函數g（x）是R上的奇函數，當x＞0時，g（x）=f（x），
（i）求實數k與g（0）的值；
（ii）當x＜0時，求g（x）的解析式；
（2）若方程f（x）=0的兩根中，一根屬于區間（0，1），另一根屬于區間（1，2），求實數k的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f（x）=ex+2x2-3x．
（Ⅰ）求證函數f（x）在區間[0，1]上存在唯一的極值點，并用二分法求函數取得極值時相應x的近似值（誤差不超過0.2）；（參考數據e≈2.7，
e
≈1.6，e0.3≈1.3）
（Ⅱ）當x≥
1
2
時，若關于x的不等式f(x)≥
5
2
x2+(a-3)x+1恒成立，試求實數a的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

定義：設函數y=f（x）在（a，b）內可導，f'（x）為f（x）的導數，f''（x）為f'（x）的導數即f（x）的二階導數，若函數y=f（x） 在（a，b）內的二階導數恒大于等于0，則稱函數y=f（x）是（a，b）內的下凸函數（有時亦稱為凹函數）．已知函數f（x）=xlnx
（1）證明函數f（x）=xlnx是定義域內的下凸函數，并在所給直角坐標系中畫出函數f（x）=xlnx的圖象；
（2）對?x1，x2∈R+，根據所畫下凸函數f（x）=xlnx圖象特征指出x1lnx1+x2lnx2≥（x1+x2）[ln（x1+x2）-ln2]與x1lnx1+x2lnx2≥（x1+x2）[ln（x1+x2）-ln2]的大小關系；
（3）當n為正整數時，定義函數N （n）表示n的最大奇因數．如N （3）=3，N （10）=5，…．記S（n）=N（1）+N（2）+…+N（2n），若
2n
i=1
xi=1，證明：
2n
i=1
xilnxi≥-ln2nln
1
3S(n)-2
（i，n∈N*）．

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科目：高中數學 來源： 題型：

精英家教網已知函數f（x）的定義域為[-1，5]，部分對應值如下表，f（x）的導函數y=f′（x）的圖象如圖所示．給出關于f（x）的下列命題：
x -1 0 4 5
f（x） 1 2 2 1
①函數y=f（x）在x=2時，取極小值；
②函數f（x）在[0，1]是減函數，在[1，2]是增函數；
③當1＜a＜2時，函數y=f（x）-a有4個零點．
④如果當x∈[-1，t]時，f（x）的最大值是2，那么t的最大值為5．
其中所有正確命題序號為
 
．．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f（x）=ln x-
b
x
（b為實數）
（1）若b=-1，求函數f（x）的極值；
（2）若函數M（x）滿足M（x）≥N（x）恒成立，則稱M（x）是N（x）的一個“上界函數”．
①如果函數f（x）為g（x）=-Inx的一個“上界函數”，求b的取值范圍；
②若b=0，函數F（x）的圖象與函數f（x）的圖象關于直線y=x對稱，求證：當x∈（-2，+∞）時，函數F（x）是函數y=f(
x
2
+1)+
x
2
+1的一個“上界函數”．

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