Question

已知△ABC三個內角A、B、C的對邊為a、b、c，

m

=(a，cosB)，

n

=(cosA，-b)，a≠b，已知

m

⊥

n

．
（1）判斷三角形的形狀，并說明理由．
（2）若y=

sinA+sinB

sinAsinB

，試確定實數y的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用兩個向量垂直的性質，兩個向量的數量積公式，可得acosA-bcosB=0．再由正弦定理推出sin2A=sin2B，根據a≠b得到 A+B=

π

2

，三角形ABC是直角三角形．
（2）由sinB=cosA 得y=

sinA+cosA

sinAcosA

，令 sinA+cosA=t∈(1，

2

]，則 sinAcosA=

t2-1

2

，故 y=

2t

t2-1

=

2

t- 1 t

，根據t-

1

t

在(1，

2

]單調遞增，求出y的取值范圍

解答：解：（1）∵

m

⊥

n

，∴

m

•

n

=0，∴acosA-bcosB=0．（2分）
由正弦定理知，

a

sinA

=

b

sinB

=2R=1，∴a=sinA，b=sinB．
∴sinAcosA-sinBcosB=0，∴sin2A=sin2B．（4分）
∵A，B∈（0，π），∴2A=2B或2A+2B=π．（5分）
∴A=B（舍去），故 A+B=

π

2

．
所以三角形ABC是直角三角形．（6分）
（2）∵sinB=cosA，∴y=

sinA+cosA

sinAcosA

．（7分）
∵sinA+cosA=

2

sin(A+

π

4

)，A∈(0，

π

2

)，∴A+

π

4

∈(

π

4

，

3π

4

)．
∴sin(A+

π

4

)∈(

2

2

，1]，∴sinA+cosA∈(1，

2

]．（9分）
令 sinA+cosA=t∈(1，

2

]，則 sinAcosA=

t2-1

2

，（11分）
∴y=

2t

t2-1

=

2

t- 1 t

．（12分）
∵t-

1

t

在(1，

2

]單調遞增，∴0＜t-

1

t

≤

2

-

1

2

=

2

2

，
∴y≥2

2

，
又a≠b，故等號不成立
所以y的取值范圍為(2

2

，+∞)．（14分）

點評：本題主要考查兩個向量垂直的性質，兩個向量的數量積公式，三角函數的恒等變換及化簡求值，正弦定理的應用，解三角形，屬于中檔題．