Question

設a為實數，記函數f(x)＝的最大值為g(a)．

(1)設t＝，求t的取值范圍，并把f(x)表示為t的函數m(t)；

(2)求g(a)；

(3)試求滿足g(a)＝g()的所有實數a．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)∵t＝， 　　∴要使有t有意義，必須1＋x≥0且1－x≥0，即－1≤x≤1． 　　∴t2＝2＋∈[2，4]，t≥0　　　　　　　　　　① 　　∴t的取值范圍是[，2]． 　　由①得， 　　∴m(t)＝a(t2－1)＋t＝at2＋t－a，t∈[，2]． 　　(2)由題意知g(a)即為函數m(t)＝at2＋t－a，t∈[，2]的最大值． 　　注意到直線t＝是拋物線m(t)＝at2＋t－a的對稱軸，分以下幾種情況討論． 　　①當a＞0時，函數y＝m(t)，t∈[，2]的圖像是開口向上的拋物線的一段， 　　由t＝＜0知m(t)在[，2]上單調遞增，∴g(a)＝m(2)＝a＋2． 　　②當a＝0時，m(t)＝t，t∈[，2]，∴g(a)＝2． 　　③當a＜0時，函數y＝m(t)，t∈[，2]的圖像是開口向下的拋物線的一段， 　　若t＝∈(0，]，即a≤，則g(a)＝m()＝． 　　若t＝∈(，2]，即＜a≤，則g(a)＝m()＝． 　　若t＝∈(2，＋∞)，即＜a＜0，則g(a)＝m(2)＝a＋2． 　　綜上有g(a)＝ 　　(3)情形1：當a＜－2時＞，此時g(a)＝，g()＝＋2， 　　由2＋＝解得a＝－1，與a＜－2矛盾． 　　情形2：當－2≤a＜時，＜≤時，此時g(a)＝，g()＝， 　　由＝解得，a＝與a＜矛盾． 　　情形3：當≤a≤，≤≤時，此時g(a)＝＝g()， 　　所以≤a≤． 　　情形4：當＜a≤時，－2≤＜－2，此時g(a)＝， 　　g()＝，解得a＝，與a＞矛盾． 　　情形5：當＜a＜0時，＜－2，此時g(a)＝a＋2，g()＝2， 　　由a＋2＝解得a＝，與a＞矛盾． 　　情形6：當a＞0時，＞0，此時g(a)＝a＋2，g()＝＋2， 　　由a＋2＝＋2，解得a＝±1，由a＞0得a＝1． 　　綜上知，滿足g(a)＝g()的所有實數a為≤a≤或a＝1．