Question

已知直線x=-1的方向向量為

a

及定點F（1，0），動點M，N，G滿足

MN

-

a

=0，

MN

+

MF

=2

MG

，

MG

•（

MN

-

MF

）=0，其中點N在直線l上．
（1）求動點M的軌跡C的方程；
（2）設A、B是軌跡C上異于原點O的兩個不同動點，直線OA和OB的傾斜角分別為α和β，若α+β=θ為定值（0＜θ＜π），試問直線AB是否恒過定點，若AB恒過定點，請求出該定點的坐標，若AB不恒過定點，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）利用已知條件滿足的向量關系得到MN⊥l|MF|=|MN|，利用拋物線的定義判斷出M的軌跡是拋物線，根據拋物線方程與焦點坐標的關系寫出拋物線的方程．
（2）設出直線AB的方程，將直線方程與拋物線方程聯立利用韋達定理得到交點坐標滿足的關系，對θ分類討論，利用兩角和的正切公式及直線斜率的公式將α+β=θ轉化為坐標關系，表示出直線方程中的截距b，得到直線方程恒過的定點．

解答：解：（1）由題意知：MN⊥l|MF|=|MN|，
由拋物線的定義知，點M的軌跡為拋物線，
其中F（1，0）為焦點，x=-1為準線，
所以軌跡方程為y²=4x；
（2）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由題意得x₁≠x₂（否則α+β=π）且x₁•x₂≠0，
所以AB的斜率存在，設其方程為y=kx+b，
顯然x1=

y 2 1

4

，x2=

y 2 2

4

，
聯立

y=kx+b y2=4x

，消去x得到：y2-

4

k

y+

4b

k

=0，
由根與系數關系得：

y1+y2= 4 k y1•y2= 4b k

①
1）當θ=

π

2

時，即α+β=

π

2

時，tanα•tanβ=1，
所以

y1

x1

•

y2

x2

=1即x1x2-y1y2=0，

y 2 1 y 2 2

16

-

y

2 1

y

2 2

=0
所以y₁y₂=16，
由①知：

4b

k

=16，
所以b=4k因此直線AB的方程可表示為y=kx+4k，
∴直線AB恒過定點（-4，0）
2）當θ≠

π

2

時，由α+β=θ，得tanθ=tan(α+β)=

tanα+tanβ

1-tanαtanβ

=

4(y1+y2)

y1y2-16

，
將①式代入上式整理化簡可得：tanθ=

4

b-4k

，所以b=

4

tanθ

+4k，
此時，直線AB的方程可表示為y=kx+

4

tanθ

+4k，
∴直線AB恒過定點(-4，

4

tanθ

)
∴當θ=

π

2

時，AB恒過定點（-4，0），
當θ≠

π

2

時，．AB恒過定點(-4，

4

tanθ

)

點評：求圓錐曲線的方程問題，一般利用待定系數法，注意橢圓中的三個參數的關系與雙曲線中的三個參數關系的區別；解決直線與圓錐曲線的位置關系問題，一般將直線的方程與圓錐曲線的方程聯立，利用韋達定理找突破口．