Question

（2012•廈門模擬）已知函數f（x）=21nx+ax²-1 （a∈R）
（I）求函數f（x）的單調區間；
（Ⅱ）若a=l，試解答下列兩小題．
（i）若不等式f（1+x）+f（1-x）＜m對任意的0＜x＜l恒成立，求實數m的取值范圍；
（ii）若x₁，x₂是兩個不相等的正數，且以f（x₁）+f（x₂）=0，求證：x₁+x₂＞2．

Answer 1

分析：（I）函數f（x）的定義域為（0，+∞），求導函數，令f′（x）＞0，分類討論可得函數的單調區間；
（Ⅱ）（i）構造函數F（x）=f（1+x）+f（1-x）=2ln（1+x）+2ln（1-x）+2x²，求導函數，確定F（x）在（0，1）上為減函數，從而可求實數m的取值范圍；
（ii）由f（x₁）+f（x₂）=0，可得（x₁+x₂）²=2x₁x₂-2lnx₁x₂+2設t=x₁x₂，則t＞0，g（t）=2t-2lnt+2，求出g（t）_min，即可證得結論．

解答：（I）解：函數f（x）的定義域為（0，+∞），f′（x）=

2

x

+2ax
令f′（x）＞0，∵x＞0，∴2ax²+2＞0
①當a≥0時，f′（x）＞0在（0，+∞）上恒成立，∴f（x）遞增區間是（0，+∞）；
②當a＜0時，由2ax²+2＞0可得-

- 1 a

＜x＜

- 1 a

x＞0，∴f（x）遞增區間是（0，

-a

-a

），遞減區間為(

-a

-a

，+∞)；
（Ⅱ）（i）解：設F（x）=f（1+x）+f（1-x）=2ln（1+x）+2ln（1-x）+2x²，則F′（x）=

4x3

x2-1

∵0＜x＜l，∴F′（x）＜0在（0，1）上恒成立，∴F（x）在（0，1）上為減函數
∴F（x）＜F（0）=0，∴m≥0，∴實數m的取值范圍為[0，+∞）；
（ii）證明：∵f（x₁）+f（x₂）=0，
∴21nx₁+x₁²-1+21nx₂+x₂²-1=0
∴2lnx₁x₂+（x₁+x₂）²-2x₁x₂-2=0
∴（x₁+x₂）²=2x₁x₂-2lnx₁x₂+2
設t=x₁x₂，則t＞0，g（t）=2t-2lnt+2，∴g′（t）=

2(t-1)

t

令g′（t）＞0，得t＞1，∴g（t）在（0，1）上單調遞減，在（1，+∞）上單調遞增
∴g（t）_min=g（1）=4，∴（x₁+x₂）²＞4，∴x₁+x₂＞2．

點評：本題考查導數知識的運用，考查函數的單調性，考查函數的最值，解題的關鍵是構造函數，正確運用導數．