Question

在R上可導的函數f（x）=

1

3

x³+

1

2

ax²+2bx+c，當x∈（0，1）時取得極大值．當x∈（1，2）時取得極小值，則

b-2

a-1

的取值范圍是（　　）

• A、(

  1

  4

  ，1)
• B、(

  1

  2

  ，1)
• C、(-

  1

  2

  ，

  1

  4

  )
• D、(

  1

  4

  ，

  1

  2

  )

Answer 1

分析：由題意知f′（x）=x²+ax+2b，結合題設條件由此可以導出

b-2

a-1

的取值范圍．

解答：解：∵f（x）=

1

3

x3+

1

2

ax2+2bx+c，∴f′（x）=x²+ax+2b，
設x²+ax+2b=（x-x₁）（x-x₂），（x₁＜x₂）
則x₁+x₂=-a，x₁x₂=2b，
因為函數f（x）當x∈（0，1）時取得極大值，x∈（1，2）時取得極小值
∴0＜x₁＜1，1＜x₂＜2，
∴1＜-a＜3，0＜2b＜2，-3＜a＜-1，0＜b＜1．∴-2＜b-2＜-1，-4＜a-1＜-2，
∴

1

4

＜

b-2

a-1

＜1，
故選A．

點評：本題考查導數和導數的應用，解題時要注意等價命題的合理轉換．