Question

設橢圓E：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a，b＞0)M(2.

2

)，N(

6

，1)，O為坐標原點
（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）是否存在圓心在原點的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒在兩個交點A，B且

OA

⊥

OE

？若存在，寫出該圓的方程，關求|AB|的取值范圍；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）把點M和N代入橢圓的標準方程，可求得a和b，進而可得橢圓E的方程．
（2）假設存在圓心在原點的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點A，B，且

OA

⊥

OB

，設該圓的切線方程為y=kx+m，直線和橢圓方程聯立，消去y，根據判別式大于0求得k和m的不等式關系，再根據使

OA

⊥

OB

，需使x₁x₂+y₁y₂=0，分別用k和m分別表示出x₁x₂和y₁y₂進而可求得k和m的關系，代入k和m的不等式關系中求得m的范圍，因為直線y=kx+m為圓心在原點的圓的一條切線，求得半徑，圓的方程可得．此時圓的切線y=kx+m都滿足，進而判定存在圓心在原點的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點A，B，且

OA

⊥

OB

．最后用k表示出|AB|，根據k的范圍確定|AB|的范圍．

解答：解：（1）因為橢圓E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a，b＞0）
過M（2，

2

），N（

6

，1）兩點，
所以

4 a2 + 2 b2 =1 6 a2 + 1 b2 =1

解得

1 a2 = 1 8 1 b2 = 1 4

所以

a2=8 b2=4

橢圓E的方程為

x2

8

+

y2

4

=1
（2）假設存在圓心在原點的圓，
使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點A，B，
且

OA

⊥

OB

，設該圓的切線方程為y=kx+m解方程組

y=kx+m x2 8 + y2 4 =1

得x²+2（kx+m）²=8，即（1+2k²）x²+4kmx+2m²-8=0，
則△=16k²m²-4（1+2k²）（2m²-8）=8（8k²-m²+4）＞0，
即8k²-m²+4＞0

x1+x2=- 4km 1+2k2 x1x2= 2m2-8 1+2k2

，y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2=

k2(2m2-8)

1+2k2

-

4k2m2

1+2k2

+m2=

m2-8k2

1+2k2

要使

OA

⊥

OB

，
需使x₁x₂+y₁y₂=0，
即

2m2-8

1+2k2

+

m2-8k2

1+2k2

=0，
所以3m²-8k²-8=0，所以k2=

3m2-8

8

≥0又8k²-m²+4＞0，
所以

m2＞2 3m2≥8

，所以m2≥

8

3

，
即m≥

2 6

3

或m≤-

2 6

3

，
因為直線y=kx+m為圓心在原點的圓的一條切線，
所以圓的半徑為r=

|m|

1+k2

，
r2=

m2

1+k2

=

m2

1+ 3m2-8 8

=

8

3

，
r=

2 6

3

，所求的圓為x2+y2=

8

3

，
此時圓的切線y=kx+m都滿足m≥

2 6

3

或m≤-

2 6

3

，
而當切線的斜率不存在時切線為x=±

2 6

3

與橢圓

x2

8

+

y2

4

=1的兩個交點為(

2 6

3

，±

2 6

3

)或(-

2 6

3

，±

2 6

3

)滿足

OA

⊥

OB

，綜上，
存在圓心在原點的圓x2+y2=

8

3

，
使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點A，B，且

OA

⊥

OB

．
因為

x1+x2=- 4km 1+2k2 x1x2= 2m2-8 1+2k2

，
所以(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2=(-

4km

1+2k2

)2-4×

2m2-8

1+2k2

=

8(8k2-m2+4)

(1+2k2)2

，|AB|=

(x1-x2)2+(y1-y2)2

=

(1+k2)(x1-x2)2

=

(1+k2) 8(8k2-m2+4) (1+2k2)2

=

32 3 • 4k4+5k2+1 4k4+4k2+1

=

32 3 [1+ k2 4k4+4k2+1 ]

，
①當k≠0時|AB|=

32 3 [1+ 1 4k2+ 1 k2 +4 ]

因為4k2+

1

k2

+4≥8所以0＜

1

4k2+ 1 k2 +4

≤

1

8

，
所以

32

3

＜

32

3

[1+

1

4k2+ 1 k2 +4

]≤12，
所以

4

3

6

＜|AB|≤2

3

當且僅當k=±

2

2

時取”=”．
2當k=0時，|AB|=

4 6

3

點評：本題主要考查了橢圓的標準方程和橢圓與直線的關系．考查了學生綜合分析問題和解決問題的能力．