Question

若以橢圓的四個頂點為頂點的菱形的內切圓過橢圓的焦點，則橢圓的離心率為（　　）

• A、

  3- 5

  2

• B、

  5 -1

  2

• C、

  3 -1

  2

• D、

  2 -1

  2

Answer 1

分析：根據題意，橢圓的右頂點與上頂點確定的直線到橢圓的中心O的距離等于半焦距，因此求出該直線方程，利用點到直線的距離公式建立關于a、b、c的等式，結合b²=a²-c²化簡整理出關于離心率e的方程，解之可得答案．

解答：解：根據題意，設橢圓的四個頂點構成的菱形為ABCD，
設點A（a，0），B（0，b），可得直線AB的方程為：

x

a

+

y

b

=1，即bx+ay-ab=0
∵菱形ABCD的內切圓恰好過焦點，
∴原點O到直線AB的距離等于半焦距，即

|-ab|

b2+a2

=c，
兩邊平方，整理得a²b²=c²（a²+b²）．
∵b²=a²-c²，
∴a²（a²-c²）=c²（2a²-c²），化簡得a⁴-3a²c²+c⁴=0，
兩邊都除以a⁴，得(

c

a

)4-3(

c

a

)2+1=0，即e⁴-3e²+1=0
解之得e²=

3± 5

2

，
∵0＜e＜1，∴e²=

3- 5

2

=(

5 -1

2

)2，可得e=

5 -1

2

．
故選：B．

點評：本題給出橢圓滿足的條件，求它的離心率．著重考查了直線的方程、點到直線的距離公式和橢圓的標準方程與簡單幾何性質等知識，屬于中檔題．