Question

已知函數為奇函數．
（Ⅰ）證明：函數f（x）在區間（1，+∞）上是減函數；
（Ⅱ）解關于x的不等式f（1+2x²）+f（﹣x²+2x﹣4）＞0．

Answer 1

解：（Ⅰ）∵函數為定義在R上的奇函數，
∴f（0）=0，即b=0，
∴函數解析式為：．
∴對f（x）求導數，得．
∵當x＞1時，＜0成立，
∴函數f（x）在區間（1，+∞）上是減函數．
（Ⅱ）由f（1+2x²）+f（﹣x²+2x﹣4）＞0，得f（1+2x²）＞﹣f（﹣x²+2x﹣4）．
∵f（x）是奇函數，
∴﹣f（﹣x²+2x﹣4）=f（x²﹣2x+4）．
原不等式化為：f（1+2x²）＞f（x²﹣2x+4）．
又∵1+2x^2≥1，x²﹣2x+4=（x﹣1）²+3＞1，且f（x）在[1，+∞）上為減函數，
∴1+2x²＜x²﹣2x+4，即x²+2x﹣3＜0，解之得﹣3＜x＜1．
∴不等式f（1+2x²）+f（﹣x²+2x﹣4）＞0的解集是{x|﹣3＜x＜1}