Question

在汶川大地震后對唐家山堰塞湖的搶險過程中，武警官兵準備用射擊的方法引爆從湖壩上游漂流而下的一個巨大的汽油罐．已知只有5發子彈，第一次命中只能使汽油流出，第二次命中才能引爆．每次射擊是相互獨立的，且命中的概率都是

2

3

．
（Ⅰ）求油罐被引爆的概率；
（Ⅱ）如果引爆或子彈打光則停止射擊，設射擊次數為ξ．求ξ的分布列及數學期望E（ξ）．（ 結果用分數表示）

Answer 1

（I）設命中油罐的次數為X，則當X=0或X=1時，油罐不能被引爆．
P(X=0)=(1-

2

3

)5=

1

243

，
P(X=1)=

C

15

×

2

3

×(1-

2

3

)4=

10

243

，
∴油罐被引爆的概率P=1-P(X=0)-P(X=1)=

232

243

．…(6分)
（II）射擊次數ξ的取值為2，3，4，5．
P(ξ=2)=

2

3

×

2

3

=

4

9

，
P(ξ=3)=

C

12

×

2

3

(1-

2

3

)×

2

3

=

8

27

，
P(ξ=4)=

C

13

×

2

3

(1-

2

3

)2×

2

3

=

4

27

，
P（ξ=5）=1-P（ξ=2）-P（ξ=3）-P（ξ=4）
=1-(

4

9

+

8

27

+

4

27

)=

1

9

．
因此，ξ的分布列為：

ξ	2	3	4	5
P	4 9	8 27	4 27	1 9

∴Eξ=2×

4

9

+3×

8

27

+4×

4

27

+5×

1

9

=

79

27

．…(14分)