Question

已知過原點O作函數f（x）=e^x（x²-x+a）的切線恰好有三條，切點分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂），（x₃，y₃），且x₁＜x₂＜x₃．
（Ⅰ）求實數a的取值范圍．
（Ⅱ）求證：x₁＜-3．

Answer 1

解：（Ⅰ）f′（x）=e^x（x²+x+a-1），
設切點為（x₀，y₀），則切線方程為：y-e^x₀（x₀²-x₀+a）=e^x₀（x₀²+x₀+a-1）（x-x₀），
代入（0，0）得x₀³+ax₀-a=0，
由題意知滿足條件的切線恰有三條，
則方程x³+ax-a=0有三個不同的解．
令g（x）=x³+ax-a，g′（x）=3x²+a．
當a≥0時，g′（x）≥0，g（x）是（-∞，+∞）上增函數，則方程x³+ax-a=0有唯一解．
當a＜0時，由g′（x）=0得x=±，g（x）在和上是增函數，
在上是減函數
要使方程x³+ax-a=0有三個不同的根，
只需
解得a＜-．
（Ⅱ）∵g（x）=x³+ax-a，，
由函數連續(xù)性知-∞＜x₁＜-，
∵a＜-，∴g（-3）=-27-4a＞0，
且-3＜-，∴x₁＜-3．
分析：（Ⅰ）設切點為（x₀，y₀），根據導數的幾何意義求出函數f（x）在x=x₀處的導數，從而求出切線的斜率，即可表示出切線方程，然后減（0，0）代入得x₀³+ax₀-a=0，根據切線恰有三條，轉化成方程x³+ax-a=0有三個不同的解，最后利用導數研究即可；
（Ⅱ）根據g（x）=x³+ax-a，，根據函數連續(xù)性知，根據a的范圍可知g（-3）=-27-4a＞0，即可求出x₁的范圍．
點評：考查學生會利用導數求曲線上過某點切線方程的斜率，會利用導數研究函數的單調區(qū)間以及根據函數的增減性得到函數的最值．掌握不等式恒成立時所取的條件．