Question

如圖，在等邊△ABC中，O為邊AB的中點，AB=4，D、E為△ABC的高線上的點，且|

OC

|=2

3

|

OD

|，|

OC

|=

3

|

OE

|．若以A，B為焦點，O為中心的橢圓過點D，建立適當的直角坐標系，記橢圓為M．
（1）求橢圓M的方程；
（2）過點E的直線l與橢圓M交于不同的兩點P，Q，點P在點E，Q之間，且

EP

=λ

EQ

，求實數λ的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）建立如圖所示的直角坐標系，由已知可得D（0，1），E（0，2），則有2c=4，b=1，根據a²=b²+c²可求a，進而可求橢圓的方程
（2）設P（x₁，y₁）Q（x₂，y₂），E（0，2），則由

EP

=(x1，y1-2)，

EQ

=(x2，y2-2)．

EP

=λ

EP

可得x₁=λx₂，y₁=λy₂-2λ+2，由P，Q都在橢圓上，代入橢圓方程，
可得y₂與λ之間的關系，結合-1≤y₂≤1，及P在E，Q之間，又

EP

=λ

EQ

，可求λ的范圍

解答：
解：（1）建立如圖所示的直角坐標系，
由于|

OC

|=2

3

|

OD

|，|

OC

|=

3

|

OE

|，|

OD

|=

1

2 3

|

OC

|=1，|

OE

|=

1

3

|

OC

|=2
∴D（0，1），E（0，2）
設橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1，(a＞b＞0)
∴2c=4⇒c=2，b=1a=

5

即橢圓方程為

x2

5

+y2=1；…（6分）
（2）設p（x₁，y₁）Q（x₂，y₂）
∵E（0，2），即

EP

=(x1，y1-2)，

EQ

=(x2，y2-2)．λ

EQ

=

EP

∴

x1=λx2 y1-2=λ(y2-2)

⇒

x1=λx2 y1=λy2-2λ+2

①…（7分）
又∵P，Q都在橢圓上
∴

x12 5 +y^2=1 x22 5 + y 2 2 =1

②…（8分）
由①②得∴

(λx2)2 5 +(λy2-2λ+2)2=1 x22 5 + y 2 2 =1

消去x₂得(λy2-2λ+2)2-λ2

y

2 2

=1-λ2⇒y2=

5λ-3

4λ

…（10分）
∵-1≤y₂≤1，
∴

1

3

≤λ≤3
又∵P在E，Q之間，又

EP

=λ

EQ

，
∴0＜λ＜1，
∴λ范圍為[

1

3

，1)．…（12分）

點評：本題考查了由橢圓的性質求解橢圓的標準方程的求法，求λ的取值范圍．解題時要認真審題，注意挖掘題設中的隱含條件，注意合理地進行等價轉化．