Question

若定義在R上的減函數y=f（x），對任意的a，b∈R，不等式f（a²-2a）≤f（b²-2b）成立，則當1≤a≤4時，的取值范圍是（ ）
A．[-，1）
B．[-，1]
C．[-，1]
D．（-，1]

Answer 1

【答案】分析：根據y=f（x）是定義在R上的減函數，得不等式f（a²-2a）≤f（b²-2b）等價于（a-b）（a+b-2）≥0．作出aob直角坐標系如圖，畫出不等式組表示的平面區域，將動點P（a，b）在區域內運動并結合直線的斜率公式，可得的取值范圍．
解答：解：∵函數y=f（x）是定義在R上的減函數，
∴任意的a，b∈R，不等式f（a²-2a）≤f（b²-2b）成立，
即a²-2a≥b²-2b，化簡得（a-b）（a+b-2）≥0
以a、b分別為橫坐標和縱坐標，建立aob直角坐標系，
作出不等式組表示的平面區域，
如右圖所示的△ABC，其中A（1，1），B（4，4），C（4，-2）
動點P（a，b）在區域內運動，得=k，等于直線PO的斜率
當P與線段AB上某點重合時，達到最大值，（）_max=1
當P與點C重合時，達到最小值，（）_min==-
由此可得，當1≤a≤4時，的取值范圍是[-，1]
故選C
點評：本題以函數的單調性為載體，求解不等式恒成立時參數的取值范圍，著重考查了函數單調性、二元一次不等式表示的平面區域和直線的斜率公式等知識，屬于中檔題．