Question

22.已知集合M是滿足下列性質的函數f（x）的全體：存在非零常數T，對任意x∈R,有f（x+T）=Tf（x）成立.

（1）函數f（x）=x是否屬于集合M？說明理由；

（2）設函數f（x）=a^x（a>0且a≠1）的圖象與y=x的圖象有公共點，證明：f（x）=a^x∈M;

（3）若函數f（x）=sinkx∈M,求實數k的取值范圍.

Answer 1

22.

解：（1）對于非零常數T，f（x+T）=x+T,Tf（x）=Tx.

因為對任意x∈R,x+T=Tx不能恒成立，所以f（x）=x M.

 

（2）因為函數f（x）=a^x（a>0且a≠1）的圖象與函數y=x的圖象有公共點，

所以方程組：有解，消去y得a^x=x,

顯然x=0不是方程a^x=x的解，所以存在非零常數T，使a^T=T.

于是對于f（x）=a^x,有f（x+T）=a^x+T=a^T·a^x=T·a^x=Tf（x）,

故f（x）=a^x∈M.

 

（3）當k=0時，f（x）=0，顯然f（x）=0∈M.

當k≠0時，因為f（x）=sinkx∈M,所以存在非零常數T，

對任意x∈R,有f（x+T）=Tf（x）成立，即sin（kx+kT）=Tsinkx.

因為k≠0,且x∈R,所以kx∈R,kx+kT∈R,

于是sinkx∈［－1,1］,sin（kx+kT）∈［－1,1］,

故要使sin（kx+kT）=Tsinkx成立，只有T=±1.

當T=1時，sin（kx+k）=sinkx成立，則k=2mπ,m∈Z.

當T=－1時，sin（kx－k）=－sinkx成立，

即sin（kx－k+π）=sinkx成立，

則－k+π=2mπ,m∈Z,即k=－（2m－1）π,m∈Z.

綜合得，實數k的取值范圍是{k|k=mπ,m∈Z}.