Question

求函數y=sin(x+

π

6

)+sin(x-

π

6

)+cosx，x∈[0，π]的單調區間、最大值和最小值．

Answer 1

分析：把函數f（x）的解析式中前兩項利用兩角和與差的正弦函數公式及特殊角的三角函數值化簡，合并后提取2，再利用兩角和與差的正弦函數公式及特殊角的三角函數值把函數解析式化為一個角的正弦函數，由x的范圍，得到這個角的范圍，根據正弦函數的單調區間即可求出函數遞增及遞減時x的范圍，即為函數f（x）的遞增及遞減區間；根據這個角的范圍，由正弦函數的圖象與性質可得正弦函數的最值，從而得到函數的最大值及最小值．

解答：解：f(x)=sinxcos

π

6

+cosxsin

π

6

+sinxcos

π

6

-cosxsin

π

6

+cosx
=2sinxcos

π

6

+cosx
=

3

sinx+cosx
=2sin(x+

π

6

)，
由于x∈[0，π]，得到x+

π

6

∈[

π

6

，

7π

6

]，
所以sin（x+

π

6

）的遞增區間為

π

6

≤x+

π

6

≤

π

2

，遞減區間為

π

2

≤x+

π

6

≤

7π

6

，
所以f（x）單調增區間為[0，

π

3

]，單調減區間為[

π

3

，π]；
∵sin（x+

π

6

）的最大值為1，最小值為-

1

2

，
∴函數f（x）的最大值為2，最小值為-1．

點評：此題考查了兩角和與差的正弦函數公式，正弦函數的單調性以及正弦函數的最值，把函數解析式利用三角函數的恒等變形化為一個角的正弦函數是本題的突破點，同時熟練掌握正弦函數的圖象與性質是解本題的關鍵．