Question

(14分)已知函數．
(Ⅰ)求函數的最小值；
(Ⅱ)求證：；
(Ⅲ)對于函數與定義域上的任意實數，若存在常數，使得和都成立，則稱直線為函數與的“分界線”.設函數，，與是否存在“分界線”？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.

Answer 1

(Ⅰ)的最小值為；(Ⅱ)詳見解析；（Ⅲ），

試題分析：(Ⅰ)求導得：，由此可得函數在上遞減，上遞增，
從而得的最小值為．
(Ⅱ)注意用第(Ⅰ)小題的結果.由(Ⅰ)知.這個不等式如何用？結合所在證的不等式可以看出，可以兩端同時乘以變形為：，把換成得，在這個不等式中令然后將各不等式相乘即得.
（Ⅲ）結合題中定義可知，分界線就是一條把兩個函數的圖象分開的直線.那么如何確定兩個函數是否存在分界線？顯然，如果兩個函數的圖象沒有公共點，則它們有無數條分界線，如果兩個函數至少有兩個公共點，則它們沒有分界線.所以接下來我們就研究這兩個函數是否有公共點.為此設.通過求導可得當時取得最小值0，這說明與的圖象在處有公共點．如果它們存在分界線，則這條分界線必過該點.所以設與的“分界線”方程為.由于的最小值為0，所以，所以分界線必滿足和.下面就利用這兩個不等式來確定的值.
試題解析：(Ⅰ)解：因為，令，解得，
令，解得，
所以函數在上遞減，上遞增，
所以的最小值為．                           3分
(Ⅱ)證明：由(Ⅰ)知函數在取得最小值，所以，即
兩端同時乘以得，把換成得，當且僅當時等號成立．
由得，，， ，
，．
將上式相乘得
．         9分
（Ⅲ）設.
則．
所以當時，；當時，．
因此時取得最小值0，則與的圖象在處有公共點．
設與存在 “分界線”，方程為.
由在恒成立，
則在恒成立.
所以成立.因此.
下面證明成立.
設，.
所以當時，；當時，.
因此時取得最大值0，則成立.
所以，.                                  14分