Question

在海島A上有一座海拔1km的山峰，山頂設有一個觀察站P．有一艘輪船按一固定方向做勻速直線航行，上午11：00時，測得此船在島北偏東15°、俯角為30°的B處，到11：10時，又測得該船在島北偏西45°、俯角為60°的C處．
（1）求船的航行速度；
（2）求船從B到C行駛過程中與觀察站P的最短距離．

Answer 1

分析：（1）由題意在三角形中利用余弦定理及位移與速度的關系即可；
（2）解法一：由題意及圖形利用物理知識及余弦定理，作AD⊥BC于點D，當船行駛到點D時，AD最小，從而PD最�。磺蟮米钚【嚯x；
解法二：由題意及圖形利用正弦定理及物理知識，作AD⊥BC于點D，當船行駛到點D時，AD最小，從而PD最小，求的最小距離．

解答：解：（1）設船速為xkm/h，則BC=

x

6

km．
在Rt△PAB中，∠PBA與俯角相等為30°，∴AB=

1

tan30°

=

3

．
同理，Rt△PCA中，AC=

1

tan60°

=

3

3

．
在△ACB中，∠CAB=15°+45°=60°，
∴由余弦定理得BC=

( 3 )2+( 3 3 )2-2× 3 × 3 3 cos60°

=

21

3

，
∴x=6×

21

3

=2

21

km/h，∴船的航行速度為2

21

km/h．
（2）（方法一）  作AD⊥BC于點D，∴當船行駛到點D時，AD最小，從而PD最�。�
此時，AD=

AB•AC•sin60°

BC

=

3 × 3 3 × 3 2

21 3

=

3

14

7

．
∴PD=

1+( 3 14 7 )2

=

259

14

．
∴船在行駛過程中與觀察站P的最短距離為

259

14

km．
（方法二）由（1）知在△ACB中，由正弦定理

AC

sinB

=

BC

sin60°

，∴sinB=

3 3 × 3 2

21 3

=

21

14

．
作AD⊥BC于點D，∴當船行駛到點D時，AD最小，從而PD最�。�
此時，AD=ABsinB=

3

×

21

14

=

3

14

7

．
∴PD=

1+( 3 14 7 )2

=

259

14

．
∴船在行駛過程中與觀察站P的最短距離為

259

14

km．

點評：本小題主要考查解三角形的有關知識及空間想象能力，具體涉及到余弦定理、正弦定理，三角形的面積公式．