Question

(本小題滿分15分)
已知函數，。
（Ⅰ）求在區間的最小值；
（Ⅱ）求證：若，則不等式≥對于任意的恒成立；
（Ⅲ）求證：若，則不等式≥對于任意的恒成立。

Answer 1

解(Ⅰ): ………………………………………1分
①若
∵，則，∴，即。
∴在區間是增函數，故在區間的最小值是。……3分
②若
令，得.
又當時，；當時，，
∴在區間的最小值是………………………………5分
綜上，當時，在區間的最小值是，當時，在區間的最小值是。……………………………………………6分
（Ⅱ）證明:當時，，則，7分
∴,
當時，有，∴在內是增函數，
∴，
∴在內是增函數，
∴對于任意的，恒成立。…………………………………10分
(Ⅲ)證明: 
,
令
則當時,≥
,……………………………………………12分
令,則,
當時, ；當時，；當時，，
則在是減函數，在是增函數，
∴，∴，
∴，即不等式≥對于任意的恒成立。……………15分

略