Question

（本小題滿分14分）已知函數
（I）求函數在上的最小值；
（II）對一切恒成立，求實數的取值范圍；
（III）求證：對一切，都有

Answer 1

（I）f ′（x）＝lnx＋1，當x∈（0，），f ′（x）＜0，f （x）單調遞減，
當x∈（，＋∞），f ′（x）＞0，f （x）單調遞增．                ……2分
①0＜t＜t＋2＜，t無解；
②0＜t＜＜t＋2，即0＜t＜時，f （x）_min＝f （）＝－；
③≤t＜t＋2，即t≥時，f （x）在［t，t＋2］上單調遞增，f （x）_min＝f （t）＝tlnt；
所以f （x）_min＝．                                                ……5分
（II）2xlnx≥－x²＋ax－3，則a≤2lnx＋x＋，                           ……6分
設h （x）＝2lnx＋x＋（x＞0），則h′（x）＝，x∈（0，1），h′（x）＜0，h （x）單調遞減，
x∈（1，＋∞），h′（x）＞0，h（x）單調遞增，所以h （x）_min＝h （1）＝4，
因為對一切x∈（0，＋∞），2f（x）≥g （x）恒成立，
所以a≤h （x）_min＝4．……10分
（III）問題等價于證明xlnx＞－（x∈（0，＋∞）），
由（I）可知f （x）＝xlnx（x∈（0，＋∞））的最小值是－，當且僅當x＝時取到．    
設m （x）＝－（x∈（0，＋∞）），則m ′（x）＝，
易得m （x）_max＝m （1）＝－，當且僅當x＝1時取到，
從而對一切x∈（0，＋∞），都有lnx＞－．                         ……14分

略