Question

已知函數的導數為，記函數f（x）=x-kg（x）（x≥2，k為常數）．
（1）若函數f（x）在區間（2，+∞）上為減函數，求k的取值范圍；
（2）求函數f（x）的值域．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據函數f（x）在區間（2，+∞）上為減函數可得到f（x₁）-f（x₂）關于x₁，x₂的關系式，然后轉化為對x₁，x₂∈（2，+∞）恒成立的問題，即可得到k的取值．
（2）對函數f（x）進行求導，然后分兩種情況討論，當k≤0時易知函數f（x）是增函數，可直接求出值域；當k＞0時，又分三種情況k＞1、k=1、0＜k＜1根據導數的正負情況進行討論，從而可得到函數的單調性確定值域．
解答：解：（1）因為f（x）在區間（2，+∞）上為減函數，
所以對任意的x₁，x₂∈（2，+∞），且x₁＜x₂恒有f（x₁）-f（x₂）＞0成立．
即恒成立．
因為x₂-x₁＞0，所以對x₁，x₂∈（2，+∞），且x₁＜x₂時，恒成立．
又＜1，所以k≥1．
（2）．
下面分兩種情況討論：
（1）當k≤0時，是關于x的增函數，值域為
（2）當k＞0時，又分三種情況：
①當k＞1時，因為，所以，即f'（x）＜0．
所以f（x）是減函數，．
又，
當x→+∞，f（x）→-∞，所以f（x）值域為．
②當k=1時，，
且f（x）是減函數，故f（x）值域是．
③當0＜k＜1時，f'（x）是增函數，
，．
下面再分兩種情況：
（a）當時，f'（x）=0的唯一實根，
故f'（x）＞0（x≥2），是關于x的增函數，值域為；
（b）當時，f'（x）=0的唯一實根，
當時，f'（x）＜0；當時，f'（x）＞0；
所以f（x）．故f（x）的值域為．
綜上所述，f（x）的值域為；
（）；（k=1）；（k＞1）．
點評：本題主要考查函數的單調性與其導函數的正負之間的關系、根據導數求函數的值域．導數是高考必考點，要重視．