Question

關于函數y=log2(x2-2x+3)有以下4個結論：其中正確結論的序號是

②③④

．
①定義域（-∞，-3）∪（1，+∞）；
②遞增區間[1，+∞）；
③最小值1；
④圖象恒在x軸的上方．

Answer 1

分析：設t=x²-2x+3，則函數等價為y=log₂t，利用二次函數和對數函數的圖象和性質分別進行判斷．

解答：解：設t=x²-2x+3，則函數等價為y=log₂t．
①要使函數有意義，則t=x²-2x+3＞0，
∵t=x²-2x+3=（x-1）²+2≥2，
∴t=x²-2x+3＞0恒成立，
即函數的定義域為R，∴①錯誤．
②∵t=x²-2x+3=（x-1）²+2，
∴t=x²-2x+3在[1，+∞）上單調遞增，則（-∞，1]上單調遞減，
∵y=log₂t 在定義域上單調遞增，
∴根據復合函數的單調性之間的關系可知，函數y=log2(x2-2x+3)在[1，+∞）上單調遞增，
∴②正確．
③∵t=x²-2x+3=（x-1）²+2≥2，y=log₂t 在定義域上單調遞增，
∴y=log₂t≥log₂2=1，
即函數的最小值為1，∴③正確．
④由③知y≥1且y=log₂t 在定義域上單調遞增，
∴圖象恒在x軸的上方，∴④正確．
故答案為：②③④．

點評：本題主要考查對數函數和二次函數的圖象和性質，利用換元法結合復合函數的之間的關系是解決本題的關鍵．