Question

如圖所示，多面體EF﹣ABCD中，底面ABCD為等腰梯形，AB∥CD，四邊形ACFE為矩形，且平面ACFE⊥平面ABCD，AD＝DC＝BC＝CF＝1，AC⊥BC，∠ADC＝120°
（1）求證：BC⊥AF
（2）求平面BDF與平面CDF所成夾角的余弦值．

Answer 1

（1）見解析；（2）

本試題主要考查了立體幾何中線線垂直的證明以及二面角平面角的求解的綜合運用。(1) ∵平面ACFE⊥平面ABCD且平面ACFE∩平面ABCD＝AC
又∵BC⊥AC   ∴BC⊥平面ACFE
又∵AF平面ACFE   ∴BC⊥AF
(2)建立空間直角坐標系，得到點的坐標，從而求解平面的法向量的坐標，進而運用數量積
的性質得到夾角的求解。
（1）證明：
∵平面ACFE⊥平面ABCD且平面ACFE∩平面ABCD＝AC
又∵BC⊥AC   ∴BC⊥平面ACFE
又∵AF平面ACFE   ∴BC⊥AF
方法二：建系后用向量證之（略）
（2）解：由已知，以C為坐標原點，CA，CB，CF所在直線分別為x，y，z軸建立如圖所示的空間直角坐標系C-xyz，連接BD交AC于O點，連接OF，要使AM∥平面BDF，易得AM∥OF
∵AD＝DC＝BC＝CF＝1，∠ADC＝120°
∴AC＝BD＝，OC＝，
即B（0，1，0），D（，，0），F（0，0，1）
∴＝（，，－1），＝（0，1，－1），＝（0，0，－1）
設平面BDF的法向量為＝（x，y，z）

令z＝1，則y＝1，x＝，∴＝（，1，1）
設平面CDF的法向量為＝（x，y，z）

令x＝1，則y＝，z＝0，∴＝（1，，0）
設平面BDF與平面CDF的夾角為α