Question

如圖，

OA

，

OB

分別為x，y非負半軸上的單位向量，點C在x軸上且在點A的右側，D、E分別為△ABC的邊AB、BC上的點．若

OE

與

OA

+

OB

共線．

DE

與

OA

共線，則

OD

•

BC

的值為（　　）

A．-1

B．0

C．1

D．2

Answer 1

分析：由題意得E在∠A0B的平分線上．設E（m，m），根據

DE

∥

OA

得到D的坐標為（1-m，m），利用直線BE的方程算出C（

m

1-m

，0）．由此可得

OD

、

BC

關于m的坐標形式，再由向量數量積的坐標公式即可算出

OD

•

BC

的值．

解答：解：根據題意，可得A（1，0），B（0，1），直線AB的方程為y=1-x，
∵

OE

與

OA

+

OB

共線，|

OA

|=|

OB

|，
∴點E在∠A0B的平分線上，可得0E所在直線方程是y=x，
設E（m，m），由

DE

與

OA

共線，得D的縱坐標為m，
將y=m代入直線AB方程，得x=1-m，可得D（1-m，m），
∵B（0，1），E（m，m），
∴直線BE的方程為

y-1

m-1

=

x-0

m-0

，化簡得（m-1）x-my+m=0，
再令y=0得x=

m

1-m

，可得點C坐標為（

m

1-m

，0），
∴

BC

=（

m

1-m

，-1），

OD

=（1-m，m），可得

OD

•

BC

=

m

1-m

•（1-m）+（-1）•m=0．
故選：B

點評：本題以等腰三角形中的向量為載體，求兩個向量的數量積．著重考查了向量的線性運算、向量的數量積公式與直線的方程等知識，考查了利用直角坐標系解決向量在幾何問題中的應用的方法，屬于中檔題．