Question

已知方程x²＋（4＋i）x＋4＋ai＝0（a∈R）有實數(shù)根b,且z=a+bi，求復(fù)數(shù)（1－ci）（c＞0）的輻角主值的取值范圍

Answer 1

解：∵方程x²＋（4＋i）x＋4＋ai＝0（a∈R）有實根b,

∴b²＋（4＋i）b＋4＋ai＝0，

得b²＋4b＋4＋（b＋a）i＝0，

 

即有

 

∴，

 

得z=a+bi=2－2i，

∴（1－ci）＝（2＋2i）（1－ci）＝2＋2c＋（2－2c）i．當(dāng)0≤c≤1時，

復(fù)數(shù)（1－ci）的實部大于0，虛部不小于0，

∴復(fù)數(shù)（1－ci）的輻角主值在［0，）范圍內(nèi)，

 

有arg［（1－ci）］＝arctg＝arctg（－1），

 

∵0＜c≤1，∴0≤－1＜1，

 

有0≤arctg（－1）＜，

 

∴0≤arg［（1－ci）］＜．

 

當(dāng)c＞1時，復(fù)數(shù)z（1－ci）的實部大于0，虛部小于0，

 

∴復(fù)數(shù) (1－ci）的輻角主值在（，2π）范圍內(nèi)，

 

有arg［（1－ci）］＝2π＋arctg＝2π＋arctg（－1）．

 

∵c＞1，∴－1＜－1＜0，

 

有－＜arctg（－1）＜0，

 

∴＜arg［（1－ci）］＜2π．

綜上所得復(fù)數(shù)（1－ci）（c＞0）的輻角主值的取值范圍為［0，）∪（，2π）．

 

評述：本題主要考查復(fù)數(shù)的基本概念和考生的運(yùn)算能力，強(qiáng)調(diào)了考生思維的嚴(yán)謹(jǐn)性.