Question

對于定義域為D的函數y=f（x），若同時滿足下列條件：
①f（x）在D內單調遞增或單調遞減；
②存在區間[a，b]⊆D，使f（x）在[a，b]上的值域為[a，b]；那么把y=f（x）（x∈D）叫閉函數．
（1）求閉函數y=-x³符合條件②的區間[a，b]；
（2）判斷函數f(x)=

3

4

x+

1

x

  (x＞0)是否為閉函數？并說明理由；
（3）若y=k+

x+2

是閉函數，求實數k的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據單調性依據閉區間的定義等價轉化為方程，直接求解．
（2）判斷其在（0，+∞）是否有單調性，再據閉函數的定義判斷；
（3）根據閉函數的定義一定存在區間[a，b]，由定義直接轉化求解即可．

解答：解：（1）由題意，y=-x³在[a，b]上遞減，
則

b=-a3 a=-b3 b＞a

解得

a=-1 b=1

（4分）
所以，所求的區間為[-1，1]；（5分）
（2）取x₁=1，x₂=10，則f(x1)=

7

4

＜

76

10

=f(x2)，
即f（x）不是（0，+∞）上的減函數．
取x1=

1

10

，x2=

1

100

，
f(x1)=

3

40

+10＜

3

400

+100=f(x2)，
即f（x）不是（0，+∞）上的增函數
所以，函數在定義域內不單調遞增或單調遞減，
從而該函數不是閉函數；（9分）
（3）若y=k+

x+2

是閉函數，則存在區間[a，b]，
在區間[a，b]上，函數f（x）的值域為[a，b]，
即

a=k+ a+2 b=k+ b+2

，∴a，b為方程x=k+

x+2

的兩個實數根，
即方程x²-（2k+1）x+k²-2=0（x≥-2，x≥k）有兩個不等的實根（11分）
當k≤-2時，有

△＞0 f(-2)≥0 2k+1 2 ＞-2

，解得-

9

4

＜k≤-2，（13分）
當k＞-2時，有

△＞0 f(k)≥0 2k+1 2 ＞k

，無解，（15分）
綜上所述，k∈(-

9

4

，-2]．

點評：考查函數的單調性及新定義型函數的理解，以及問題的等價轉化能力．