Question

（本小題滿分12分）

如圖，正方形所在平面與圓所在平面相交于，線段為圓的弦，垂直于圓所在平面，垂足是圓上異于．的點，，圓的直徑為9．

（I）求證：平面平面；

（II）求二面角的平面角的正切值．

 

Answer 1

【答案】

 

（I）證明略

（II）

【解析】解：（I）證明：∵垂直于圓所在平面，在圓所在平面上，

∴．

在正方形中，，

∵，∴平面．

∵平面，

∴平面平面．

   （II）解法1：∵平面，平面，

∴．

∴為圓的直徑，即．

設正方形的邊長為，

在△中，，

在△中，，

由，解得，．

∴．

過點作于點，作交于點，連結，

由于平面，平面，

∴．

∵，

∴平面．

∵平面，

∴．

∵，，

∴平面．

∵平面，

∴．

∴是二面角的平面角．

在△中，，，，

∵，

∴．

在△中，，

∴．

故二面角的平面角的正切值為．

解法2：∵平面，平面，

∴．

∴為圓的直徑，即．

設正方形的邊長為，

在△中，，

在△中，，

由，解得，．

∴．

以為坐標原點，分別以．所在的直線為軸．軸建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，，．

設平面的法向量為，

則即

取，則是平面的一個法向量．

設平面的法向量為，

則即

取，則是平面的一個法向量．

∵，

∴．

∴．

故二面角的平面角的正切值為．