Question

設定義在R上的函數f（x）=ax³+bx²+cx，當x=-

2

2

時，f（x）取得極大值

2

3

，并且函數y=f′（x）的圖象關于y軸對稱．
（Ⅰ）求f（x）的表達式；
（Ⅱ）若曲線C對應的解析式為g(x)=

1

2

f(x)+

1

2

x+

4

3

，求曲線過點P（2，4）的切線方程．

Answer 1

分析：（1）因為函數圖象關于y軸對稱，得到函數是偶函數即f（x）=f（-x），得到b=0然后代入解析式中，又因為當x=-

2

2

時，f（x）取得極大值

2

3

得f（-

2

2

）=

2

3

，f′（-

2

2

）=0解出a與b得到f（x）的解析式；
（2）設切點為（x₀，y₀），表示出切線方程把P（2，4）代入切線方程得切點坐標，代入切線方程即可．

解答：解：（1）∵f′（x）=3ax²+2bx+c為偶函數，∴f（x）=f（-x），
∴3ax²-2bx+c=3ax²+2bx+c，
∴2bx=0得到b=0，
∴f（x）=ax³+cx
又當x=-

2

2

時，f（x）取得極大值

2

3

得
f（-

2

2

）=

2

3

，f′（-

2

2

）=0
∴解得

a= 2 3 b=-1

，
∴f（x）=

2

3

x³-x
（2）g(x)=

1

2

f(x)+

1

2

x+

4

3

=

1

3

x3+

4

3

，
設切點為（x₀，y₀），則y0=

1

3

x3+

4

3

，k=g′(x)|x=x0=x02
切線方程為：y-(

1

3

x03+

4

3

)=x02(x-x0)，
代入點P（2，4）化簡得：x₀³-3x₀²+4=0，解得x₀=-1，2，
所以切線方程為：x-y+2=0和4x-y-4=0．

點評：考查學生利用導數研究函數極值的能力，利用導數研究函數某點的切線方程的能力．