Question

如圖，函數y=2cos(ωx+θ)(x∈R，0≤θ≤

π

2

)的圖象與y軸交于點(0，

3

)，且在該點處切線的斜率為-2．
（1）求θ和ω的值；
（2）已知點A(

π

2

，0)，點P是該函數圖象上一點，點Q（x₀，y₀）是PA的中點，當y0=

3

2

，x0∈[

π

2

，π]時，求x₀的值．

Answer 1

分析：（1）根據（0，

3

）以及θ的范圍，求θ，利用導數和斜率的關系求ω的值；
（2）利用點A(

π

2

，0)，點Q（x₀，y₀）求出P，點P是該函數圖象上一點，代入表達式，利用y0=

3

2

，x0∈[

π

2

，π]，求x₀的值．

解答：解：（1）將x=0，y=

3

代入函數y=2cos（ωx+θ）得cosθ=

3

2

，
因為0≤θ≤

π

2

，所以θ=

π

6

．
又因為y'=-2ωsin（ωx+θ），y'|_x=0=-2，θ=

π

6

，所以ω=2，
因此y=2cos(2x+

π

6

)．
（2）因為點A(

π

2

，0)，Q（x₀，y₀）是PA的中點，y0=

3

2

，
所以點P的坐標為(2x0-

π

2

，

3

)．
又因為點P在y=2cos(2x+

π

6

)的圖象上，所以cos(4x0-

5π

6

)=

3

2

．
因為

π

2

≤x0≤π，所以

7π

6

≤4x0-

5π

6

≤

19π

6

，
從而得4x0-

5π

6

=

11π

6

或4x0-

5π

6

=

13π

6

．
即x0=

2π

3

或x0=

3π

4

．

點評：本題考查y=Asin（ωx+φ）中參數的物理意義，導數的運算，考查分析問題解決問題的能力，是中檔題．