Question

設函數f（x）=ln（x+2），
（1）求函數y=f（x）-2x 的單調區間；   
（2）對任意正整數n比較f(

1

n

) 與

1+n

1+2n

的大小，并加以證明；
（3）（實驗班學生必答題 10分）如果不等式af(x)≥(a-1)x-

1

2

x2+2a 在（-2，+∞）內恒成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由f（x）=ln（x+2），知y=f（x）-2x=ln（x+2）-2x，由x+2＞0，得x＞-2．所以y′=

1

x+2

-2，由此能求出函數y=f（x）-2x 的單調區間．
（2）f(

1

n

)＞

1+n

1+2n

．證明：由f（x）在[1，+∞）上是增函數，知[f(

1

n

)]min=f(1)=ln2，設g（n）=

1+n

1+2n

，則g′(n)=

(1+2n)-2(1+n)

(1+2n) 2

=

-1

(1+2n)2

＜0，g（n）在[1，+∞）上是減函數，由此證明f(

1

n

)＞

1+n

1+2n

．
（3）由af(x)≥(a-1)x-

1

2

x2+2a，得a[ln(x+2)-(x+2)]≥-x-

1

2

x 2，設g（x）=a[ln（x+2）-（x+2）]，p（x）=-x-

1

2

x2，不等式af(x)≥(a-1)x-

1

2

x2+2a 在（-2，+∞）內恒成立，等價于當x∈（-2，+∞）時，[g（x）]_min≥[p（x）]_max．由此能求出實數a的取值范圍．

解答：解：（1）∵f（x）=ln（x+2），
∴y=f（x）-2x=ln（x+2）-2x，
∵x+2＞0，
∴x＞-2．
y′=

1

x+2

-2，
由y′=

1

x+2

-2＞0，
得x＜-

3

2

，
∴y=f（x）-2x的遞增區間是（-2，-

3

2

）．
由y′=

1

x+2

-2＜0，
得x＞-

3

2

，
∴y=f（x）-2x的遞減區間是（-

3

2

，+∞）．
（2）f(

1

n

)＞

1+n

1+2n

．
證明：∵f（x）=ln（x+2），
∴x＞-2，f′(x)=

1

x+2

＞0，
∴f（x）在（-2，+∞）上是增函數，
∵n是任意正整數，
∴f(

1

n

)在[1，+∞）上是減函數，
∴f(

1

n

)在[1，+∞）上的最小值[f(

1

n

)]min=

lim

n→+∞

f(

1

n

)=ln2，
設g（n）=

1+n

1+2n

，
則g′(n)=

(1+2n)-2(1+n)

(1+2n) 2

=

-1

(1+2n)2

＜0，
∴g（n）在[1，+∞）上是減函數，
∴g（n）在[1，+∞）上的最大值g（n）_max=g（1）=

1+1

1+2

=

2

3

．
∵ln2-

2

3

=1n2-ln（e

2

3

）=ln

2

3 e2

＞ln1=0，
∴ln2＞

2

3

．
∴f(

1

n

)＞

1+n

1+2n

．
（3）∵f（x）=ln（x+2），
∴由af(x)≥(a-1)x-

1

2

x2+2a，
得 aln(x+2)≥ax-x-

1

2

x2+2a，
∴a[ln(x+2)-(x+2)]≥-x-

1

2

x 2，
設g（x）=a[ln（x+2）-（x+2）]，p（x）=-x-

1

2

x2，
不等式af(x)≥(a-1)x-

1

2

x2+2a 在（-2，+∞）內恒成立，
等價于當x∈（-2，+∞）時，[g（x）]_min≥[p（x）]_max．
∵g′(x)=

a

x+2

-a，
令g′(x)=

a

x+2

-a=0，得x=-1．
①當a＞0時，
x∈（-2，-1）時，g′（x）＞0，g（x）是增函數；
x∈（-1，+∞）時，g′（x）＜0，g（x）是減函數；
∴g（x）有最大值g（-1），無最小值．不合題意．
②當a=0時，g（x）=0，不合題意；
③當a＜0時，
x∈（-2，-1）時，g′（x）＜0，g（x）是減函數；
x∈（-1，+∞）時，g′（x）＞0，g（x）是增函數；
∴g（x）有最小值g（x）_min=g（-1）=-a．
綜上所述，當a＜0時，g（x）有最小值g（x）_min=g（-1）=-a．
p（x）=-x-

1

2

x2=-

1

2

(x+1)2+

1

2

≤

1

2

，
∴[p(x)]max=

1

2

．
∵[g（x）]_min≥[p（x）]_max，
∴-a≥

1

2

，
∴a≤-

1

2

．
故實數a的取值范圍是（-∞，-

1

2

]．

點評：本題考查導數在求函數最值中的應用，考查運算求解能力，推理論證能力；考查函數與方程思想，化歸與轉化思想．小題對數學思維的要求比較高，要求學生理解“存在”、“恒成立”，以及運用一般與特殊的關系進行否定，本題有一定的探索性．綜合性強，難度大，易出錯．