Question

已知拋物線y²=2px（p＞0）上一點Q（4，m）到其焦點的距離為5
（1）求p與m的值；；
（2）斜率為1的直線不過點P（2，2），且與拋物線交于點A，B，直線AP，BP分別交拋物線于點C，D，求證：直線AD，BC交于一個定點．

Answer 1

分析：（1）利用拋物線的定義，結合Q（4，m）到其焦點的距離為5，可求p與m的值；；
（2）先求直線的斜率，求得直線方程，即可求得直線AD，BC交點．

解答：（1）解：由拋物線方程得其準線方程：x=-

p

2

，
根據拋物線定義點Q（4，m）到焦點的距離等于它到準線的距離，即4+

p

2

=5，解得p=2
所以拋物線方程為：y²=4x，將Q（4，m）代入拋物線方程，解得m=±4．…（6分）
（2）證明：設點A，B，C，D的坐標分別為(

y 2 1

4

， y1)，(

y 2 2

4

， y2)，(

y 2 3

4

， y3)，(

y 2 4

4

， y4)，
則直線AB的斜率KAB=

y1-y2

y 2 1 4 - y 2 2 4

=

4

y1+y2

，于是得y₁+y₂=4．
同理知直線AC，BD，AD，BC的斜率分別為

4

y1+y3

，

4

y2+y4

，

4

y1+y4

，

4

y2+y3

，
由A，P，C三點共線得

4

y1+y3

=

y1-2

y 2 1 4 -2

，即y₁y₃-2（y₁+y₃）+8=0，
以4-y₂代y₁得y₂y₃-2（y₂+y₃）=0，①
同理由B，D，P共線得y₁y₄-2（y₁+y₄）=0②
設AD，BC交點為M（m，n），
由A，D，M共線知

4

y1+y4

=

y1-n

y 2 1 4 -m

，即y₁y₄-n（y₁+y₄）+4m=0③
同理由B，C，M共線得y₂y₃-n（y₂+y₃）+4m=0④
將①②代入③④得（2-n）（y₁+y₄）+4m=0，（2-n）（y₂+y₃）+4m=0
∵y₁+y₄≠y₂+y₃，∴m=0，n=2
即直線AD，BC交于一個定點M（0，2）…（15分）

點評：本題考查拋物線的定義，考查直線方程，考查學生的計算能力，屬于中檔題．