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某同學在研究函數f（x）=
x2+1
+
x2-6x+10
的性質時，受到兩點間距離公式的啟發，將f（x）變形為f（x）=
(x-0)2+(0-1)2
+
(x-3)2+[0-(-1)]2
，則f（x）表示|PA|+|PB|（如圖），下列關于函數f（x）的描述正確的是
②③
②③
．（填上所有正確結論的序號）
①f（x）的圖象是中心對稱圖形； 
②f（x）的圖象是軸對稱圖形；
③函數f（x）的值域為[
13
，+∞）；
④方程f[f（x）]=1+
10
有兩個解．
分析：①因為函數不是奇函數，所以錯誤．②利用函數對稱性的定義進行判斷．③利用兩點之間線段最短證明．④利用函數的值域進行判斷．
解答：解：①因為f（-x）=
x2+1
+
x2+6x+10
≠-f(x)，所以函數不是奇函數，所以圖象關于原點不對稱，所以錯誤．
②因為f(
3
2
-x)=
(
3
2
-x)2+1
+
(
3
2
-x-3)2+1
=
(x-
3
2
)2+1
+
(x+
3
2
)2+1
，
f(
3
2
+x)=
(
3
2
+x)2+1
+
(
3
2
+x-3)2+1
=
(x-
3
2
)2+1
+
(x+
3
2
)2+1
，所以f(
3
2
+x)=f(
3
2
-x)，即函數關于x=
3
2
對稱，所以②正確．
③由題意值f（x）≥|AB|，而|AB|=
32+(-1-1)2
=
9+4
=
13
，所以f（x）≥
13
，即函數f（x）的值域為[
13
，+∞），正確．
④設f（x）=t，則方程f[f（x）]=1+
10
，等價為f（t）=1+
10
，即
t2+1
+
(t-3)2+1
=1+
10
，所以t=0，或t=3．
因為函數f（x）≥
13
，所以當t=0或t=3時，不成立，所以方程無解，所以④錯誤．
故答案為：②③
點評：本題綜合考查了函數的性質，綜合性較強，運算量較大，考查學生的分析能力．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

某同學在研究函數f（x）=
x1+|x|
（x∈R）時，分別給出下面幾個結論：
①f（-x）+f（x）=0在x∈R時恒成立；
②函數f（x）的值域為（-1，1）；
③若x1≠x2，則一定有f（x1）≠f（x2）；
④函數g（x）=f（x）-x在R上有三個零點．
其中正確結論的序號有
 
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

某同學在研究函數 f （x）=
x1+|x|
（x∈R） 時，分別給出下面幾個結論：
①等式f（-x）+f（x）=0在x∈R時恒成立；
②函數 f （x） 的值域為 （-1，1）；
③若x1≠x2，則一定有f （x1）≠f （x2）；
④方程f（x）-x=0有三個實數根．
其中正確結論的序號有
①②③
①②③
．（請將你認為正確的結論的序號都填上）

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科目：高中數學 來源： 題型：

某同學在研究函數f(x)=
x
1+|x|
（x∈R）時，給出了下面幾個結論：
①函數f（x）的值域為（-1，1）；②若f（x1）=f（x2），則恒有x1=x2；③f（x）在（-∞，0）上是減函數；
④若規定f1（x）=f（x），fn+1（x）=f[fn（x）]，則fn(x)=
x
1+n|x|
對任意n∈N*恒成立，
上述結論中所有正確的結論是（　　）

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科目：高中數學 來源： 題型：

某同學在研究函數f(x)=
2x|x|+1
(x∈R)時，分別得出如下幾個結論：
①等式f（-x）+f（x）=0在x∈R時恒成立；
②函數f（x）的值域為（-2，2）；
③若x1≠x2，則一定有f（x1）≠f（x2）；
④函數y（x）=f（x）-2x在R上有三個零點．
其中正確的序號有
①②③
①②③
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2009•上海模擬）某同學在研究函數f(x)=
x1+|x|
 (x∈R)時，分別給出下面幾個結論：
①等式f（-x）+f（x）=0對x∈R恒成立；
②若f（x1）≠f（x2），則一定有x1≠x2；
③若m＞0，方程|f（x）|=m有兩個不等實數根；
④函數g（x）=f（x）-x在R上有三個零點．
其中正確結論的序號有
①②
①②
．（請將你認為正確的結論的序號都填上）

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