Question

如圖，在四棱錐P－ABCD中，PC⊥底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB∥CD，AB＝2AD＝2CD＝2，E是PB的中點．
 
(1)求證：平面EAC⊥平面PBC；
(2)若二面角P－AC－E的余弦值為，求直線PA與平面EAC所成角的正弦值．

Answer 1

（1）見解析（2）

(1)∵PC⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，∴AC⊥PC.∵AB＝2，AD＝CD＝1，∴AC＝BC＝.
∴AC²＋BC²＝AB².∴AC⊥BC.
又BC∩PC＝C，∴AC⊥平面PBC.
∵AC?平面EAC，
∴平面EAC⊥平面PBC.
(2)如圖，以點C為原點，，，分別為x軸、y軸、z軸正方向，建立空間直角坐標系，

則C(0,0,0)，A(1,1,0)，B(1，－1,0)，設P(0,0，a)(a>0)，
則E，＝(1,1,0)，＝(0,0，a)，＝.取m＝(1，－1,0)，則m·＝m·＝0，m為面PAC的法向量．設n＝(x，y，z)為面EAC的法向量，則n·＝n·＝0，即取x＝a，y＝－a，z＝－2，則n＝(a，－a，－2)，依題意，|cos〈m，n〉|＝＝＝，則a＝2.于是n＝(2，－2，－2)，＝(1,1，－2)．設直線PA與平面EAC所成角為θ，則sin θ＝|cos〈，n〉|＝＝，即直線PA與平面EAC所成角的正弦值為