Question

（07年天津卷文）（12分）

如圖，在四棱錐中，底面，

，，是的中點．

（Ⅰ）求和平面所成的角的大小；

（Ⅱ）證明平面；

（Ⅲ）求二面角的大小．

 

Answer 1

本小題考查直線與平面垂直、直線和平面所成的角、二面角等基礎知識．考查空間想象能力、記憶能力和推理論證能力．

解析：（Ⅰ）在四棱錐中，因底面，平面，故．

又，，從而平面．故在平面內的射影為，從而為和平面所成的角．

在中，，故．

所以和平面所成的角的大小為．

（Ⅱ）證明：在四棱錐中，

因底面，平面，故．

由條件，，面．

又面，．

由，，可得．

是的中點，，

．綜上得平面．

（Ⅲ）過點作，垂足為，連結．

由（Ⅱ）知，平面，在平面內的射影是，則．

因此是二面角的平面角．

由已知，可得．設，可得

，，，．

在中，，，則

．

在中，．

所以二面角的大小．