Question

已知幾何體A-BCD的三視圖如圖所示，其中俯視圖和側視圖都是腰長為4的等腰直角三角形，正視圖為直角梯形．
（I ）求此幾何體的體積V：
（II）若F是AE上的一點，且EF=3FA求證：DF∥平面ABC
（III）試探究在棱DE上是否存在點使得AQ丄CQ，并說明理由．

Answer 1

分析：（I）由三視圖知幾何體是一個四棱錐，根據所給的數據和關系AB⊥平面BCDE，且BE=BC=BA=4，DC=1，得到體積
（II）做出輔助線，根據兩個平面上的兩條相交直線分別平行得到兩個平面平行，根據兩個平面平行的性質定理得到結論．
（III）先寫出結論，取BC的中點O，過O作OQ⊥DE于Q，則點Q滿足條件，下面根據兩個直角三角形相似和線面垂直證明結論成立．

解答：解：（I）由該幾何體的三視圖知AB⊥平面BCDE，且BE=BC=BA=4，DC=1
∴S_△BCD=

1

2

•（4+1）•4=10
∴V_A-BCD=

1

3

•S_△BCD•AC=

40

3

即該幾何體的體積為

40

3

（II）在BE上取一點G，使EG=3GB，連接DG，FG
∵EF=3FA
∴FG∥AB
又CD=1=BG
∴GD∥BC
∵GF、GD、BA、BC分別是平面GFD，平面BAC內的兩條相交直線
∴平面GFD∥平面BAC
又FD?平面GFD
∴FD∥平面BAC
（III）取BC的中點O，過O作OQ⊥DE于Q，則點Q滿足條件，證明如下：
連接E0，OD，BQ，AQ，CQ，在Rt△EBO和Rt△OCD中
∵

EB

BO

=

OC

CD

=2，
∴Rt△EBO∽Rt△OCD
∴∠EOB=∠ODC
∴∠EOD=90°
又OE=

OB2+BE2

=2

5

，
OD=

OC2+CD2

=

5

，ED=5
∴OQ=

OE•OD

ED

=2
∴以O為圓心，以BC為直徑的圓與DE相切于點Q
∴BQ⊥CQ
又CQ⊥平面BCDE，CQ?平面BCDE
∴CQ⊥AB
∴CQ⊥平面ABQ
又AQ?平面ABQ
∴CQ⊥AQ
故在棱DE上存在點使得AQ丄CQ．

點評：本題考查空間中線面之間的關系和體積的求法，本題是一個綜合題目，解題的關鍵是看出所給的三視圖還原出的幾何體各個部分的數據．