Question

設A是由m×n個實數組成的m行n列的數表，滿足：每個數的絕對值不大于1，且所有數的和為零，記s（m，n）為所有這樣的數表構成的集合，對于A∈S（m，n），記r_i（A）為A的第i行各數之和（1≤i≤m），C_j（A）為A的第j列各數之和（1≤j≤n）；記K（A）為|r₁（A）|，|R₂（A）|，…，|R_m（A）|，|C₁（A）|，|C₂（A）|，…，|C_n（A）|中的最小值。
（1）如表A，求K（A）的值；

（2）設數表A∈（2，3），形如下表，求K（A）的最大值。

（3）給定正整數t，對于所有的A∈S（2，2t+1），求K（A）的最大值。

Answer 1

解：（1）由題意可知r₁（A）=1.2，r₂（A）=-1.2，c₁（A）=1.1，c₂（A）=0.7，c₃（A）=-1.8
∴K（A）=0.7 。
（2）先用反證法證明k（A）≤1：
若k（A）＞1 則|c₁（A）|=|a+1|=a+1＞1，
∴a＞0
同理可知b＞0，
∴a+b＞0
由題目所有數和為0
即a+b+c=-1
∴c=-1-a-b＜-1 與題目條件矛盾
∴k（A）≤1
易知當a=b=0時，k（A）=1存在
∴k（A）的最大值為1。
（3）k（A）的最大值為
首先構造滿足的A={a_i，_j}（i=1，2，j=1，2，…，2t+1）；
，

經計算知，A中每個元素的絕對值都小于1，所有元素之和為0，
且，
，

下面證明是最大值，若不然，則存在一個數表A∈S（2，2t+1），使得
由k（A）的定義知A的每一列兩個數之和的絕對值都不小于x，而兩個絕對值不超過1的數的和，其絕對值不超過2，故A的每一列兩個數之和的絕對值都在區間[x，2]中，由于x＞1，故A的每一列兩個數符號均與列和的符號相同，且絕對值均不小于x-1
設A中有g列的列和為正，有h列的列和為負，由對稱性不妨設g＜h，則g≤t，h≥t+1
另外，由對稱性不妨設A的第一行行和為正，第二行行和為負
考慮A的第一行，由前面結論知A的第一行有不超過t個正數和不少于t+1個負數，每個正數的絕對值不超過1（即每個正數均不超過1），每個負數的絕對值不小于x-1（即每個負數均不超過1-x）
因此|r₁（A）|=r₁（A）≤t?1+（t+1）（1-x）=2t+1-（t+1）x=x+（2t+1-（t+2）x）＜x，
故A的第一行行和的絕對值小于x，與假設矛盾
因此k（A）的最大值為。