Question

已知兩定點E(-

2

，0)，F(

2

，0)，動點P滿足

PE

•

PF

=0，由點P向x軸作垂線PQ，垂足為Q，點M滿足

PM

=(

2

-1)

MQ

，點M的軌跡為C．
（I）求曲線C的方程；
（II）若線段AB是曲線C的一條動弦，且|AB|=2，求坐標原點O到動弦AB距離的最大值．

Answer 1

（Ⅰ）設動點P（x₀，y₀），則

EP

=(x0+

2

，y0)，

FP

=(x0-

2

，y0)．
∵動點P滿足

EP

•

FP

=0，∴

x

20

-2+

y

20

=0，化為

x

20

+

y

20

=2
即動點P的軌跡方程為

x

20

+

y

20

=2．
設動點M（x，y），則Q（x，0），如圖所示，
∵

PM

=(x-x0，y-y0)，

MQ

=(0，-y)，

PM

=(

2

-1)

MQ

，
∴

x-x0=0 y-y0=-y( 2 -1)

，化為

x0=x y0= 2 y

，
代入動點P的軌跡方程得x²+2y²=2，即曲線C的方程為

x2

2

+y2=1．
（Ⅱ）當直線AB的斜率不存在時，∵|AB|=2=短軸長，∴直線AB經過原點，此時原點到直線的距離=0；
當直線AB的斜率存在時，設直線AB的方程為y=kx+t，
聯立

y=kx+t x2+2y2=2

，消去y得（1+2k²）x²+4ktx+2t²-2=0，
∵直線與橢圓有兩個交點，∴△=16k²t²-4（1+2k²）（2t²-2）＞0，化為t²＜1+2k²．（*）
∴x1+x2=-

4kt

1+2k2

，x1x2=

2t2-2

1+2k2

，
∴|AB|=

(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]

，
∴2²=(1+k2)[(

-4kt

1+2k2

)2-4×

2t2-2

1+2k2

]，
化為t2=

1+2k2

2(1+k2)

．（**）
原點O到直線AB的距離d=

|t|

1+k2

，∴d2=

t2

1+k2

，
把（**）代入上式得d2=

1+2k2

2(1+k2)2

=

2

(1+2k2)+ 1 1+2k2 +2

≤

2

2+2

=

1

2

，當且僅當1+2k2=

1

1+2k2

，即k²=0，k=0時取等號．
此時t2=

1

2

，滿足（*）式．
∴d2≤

1

2

，∴d≤

2

2

，即原點O到直線AB的最大距離d=

2

2

．
綜上可知：坐標原點O到動弦AB距離的最大值是

2

2

．