Question

在直線l：x-y+9=0上任取一點P，過點P以橢圓=1的焦點為焦點作橢圓.點P在何處時，所求橢圓的長軸最短？并求出長軸最短時的橢圓方程.

Answer 1

解：設所求橢圓的方程為=1，與x-y+9=0聯立得（2a²-9）x²+18a²x+90a²-a⁴=0，點P在直線x-y+9=0上，所以Δ=（18a²）²-4(2a²-9)(90a²-a⁴)≥0，即a⁴-54a²+405≥0.解之得a²≥45或a²≤9,因為a＞c=3,所以a²≥45.所以橢圓的長軸最短時的方程為=1.聯立=1和x-y+9=0得點P（-5，4）.

點撥：利用判別式可以確定參數的取值范圍，再加以討論便可得到最后的結果.