Question

（2010•重慶一模）對于數列{a_n}，若存在一個常數M，使得對任意的n∈N^*，都有|a_n|≤M，則稱{a_n}為有界數列．
（Ⅰ）判斷a_n=2+sinn是否為有界數列并說明理由．
（Ⅱ）是否存在正項等比數列{a_n}，使得{a_n}的前n項和S_n構成的數列{S_n}是有界數列？若存在，求數列{a_n}的公比q的取值范圍；若不存在，請說明理由．
（Ⅲ）判斷數列an=

1

3

+

1

5

+

1

7

+…+

1

2n-1

(n≥2)是否為有界數列，并證明．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求a_n=2+sinn的值域為1≤a_n=2+sinn≤3，根據有界數列的定義可以判斷；
（Ⅱ）對公比q進行討論，當0＜q＜1時，Sn=

a1(1-qn)

1-q

＜

a1

1-q

，易知正數數列{S_n}滿足|Sn|＜

a1

1-q

，即為有界數列；當q=1時，S_n=na₁→+∞，故為無界數列；當q＞1時，S_n=a₁+a₂+…+a_n＞na₁→+∞，此時為無界數列，從而得結論．
（Ⅲ）{a_n}為無界數列，利用放縮法，轉換為利用等比數列求和可證．

解答：解：（Ⅰ）1≤a_n=2+sinn≤3，
故{a_n}為有界數列…（2分）
（Ⅱ）設公比為q，當0＜q＜1時，Sn=

a1(1-qn)

1-q

＜

a1

1-q

，
則正數數列{S_n}滿足|Sn|＜

a1

1-q

，即為有界數列；
當q=1時，S_n=na₁→+∞，故為無界數列；
當q＞1時，S_n=a₁+a₂+…+a_n＞na₁→+∞，此時為無界數列．
綜上：當且僅當0＜q＜1時，{S_n}為有界數列…（6分）．
（Ⅲ）{a_n}為無界數列，事實上an=

1

3

+

1

5

+

1

7

+…+

1

2n-1

＞

1

4

+

1

6

+

1

8

+…+

1

2n

∴2an＞

1

3

+

1

4

+

1

5

+

1

6

+…+

1

2n-1

+

1

2n

∴2a2n＞

1

3

+

1

4

+

1

5

+

1

6

+…+

1

2•2n

=(

1

3

+

1

4

)+(

1

5

+

1

6

+

1

7

+

1

8

)+(

1

9

+…+

1

16

)+…+(

1

2n+1

+

1

2n+2

+…+

1

2n+2n

)＞

1

4

×2+

1

8

×4+

1

16

×8+…+

1

2n×2

×2n=

n

2

∴a2n＞

n

4

故當n無限增大時a_n也無限增大，
所以{a_n}無界…（12分）．

點評：本題以數列為載體，考查新定義，關鍵是理解新定義，對等比數列應注意求和公式的使用條件．