Question

已知函數處取得極值2
（1）求函數的表達式；
（2）當滿足什么條件時，函數在區間上單調遞增？
（3）若為圖象上任意一點，直線與的圖象相切于點P，求直線的斜率的取值范圍

Answer 1

（1）；（2）當時，函數在區間上單調遞增；（3）直線的斜率的取值范圍是 

試題分析：(1)求導得，因為函數在處取得極值2，
所以，由此解得，從而得的解析式；（2）由（1）知，由此可得的單調增區間是[-1，1]，要使得函數在區間上單調遞增，則（3）由題意及導數的幾何意義知，求直線的斜率的取值范圍就是求函數的導數的取值范圍
試題解析：(1)因為                  （2分）
而函數在處取得極值2，
所以， 即 解得 
所以即為所求                  （4分）
（2）由（1）知
令得：
則的增減性如下表：

	（-∞，-1）	（-1，1）	（1，+∞）
	負	正	負
	遞減	遞增	遞減

可知，的單調增區間是[-1，1]，                   （6分）
所以
所以當時，函數在區間上單調遞增。  （9分）
（3）由條件知，過的圖象上一點P的切線的斜率為：
    （11分）
令，則，
此時，的圖象性質知：
當時，；
當時，
所以，直線的斜率的取值范圍是         （14分）