Question

（2012•焦作模擬）已知函數f（x）=mx²+lnx-2x．
（1）若m=-4，求函數f（x）的最大值．
（2）若f（x）在定義域內為增函數，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）確定函數的定義域，求導數，確定函數的單調性，從而可得函數的最值；
（2）令導數大于等于0，再利用分離參數法，確定相應函數的最值，即可求實數m的取值范圍．

解答：解：f（x）的定義域為（0，+∞）．f′(x)=2mx+

1

x

-2．…（1分）
（1）當m=-4時，f′(x)=-8x+

1

x

-2，
令f'（x）=0，得x=

1

4

或-

1

2

（舍去）．…（3分）
列表：

x	(0， 1 4 )	1 4	( 1 4 ，+∞)
f'（x）	+	0	-
f（x）	↗	最大值：-2ln2- 3 4	↘

故函數f（x）的最大值為-2ln2-

3

4

．…（6分）
（2）令f'（x）≥0，即2mx+

1

x

-2≥0，

2mx2-2x+1

x

≥0．
∵x＞0，∴2mx²-2x+1≥0．
∵f（x）在定義域內為增函數，∴2mx²-2x+1≥0在x∈（0，+∞）恒成立．…（7分）
即m≥(

1

x

-

1

2x2

)max．…（9分）
當x∈（0，+∞）時，

1

x

-

1

2x2

=-

1

2

(

1

x

)2+

1

x

，
當

1

x

=1時，取得(

1

x

-

1

2x2

)max=

1

2

．
故m≥

1

2

．…（12分）

點評：本題考查導數知識的運用，考查函數的單調性與最值，考查分離參數法的運用，解題的關鍵是轉化為恒成立問題，再利用分離參數法求解．