Question

設a＞b＞c＞0，則2a2+

1

ab

+

1

a(a-b)

-12ac+36c2最小值為

4

．

Answer 1

分析：對2a2+

1

ab

+

1

a(a-b)

-12ac+36c2進行變形，然后結合二次函數及基本不等式可求最小值

解答：解：∵a＞b＞c＞0，
則2a2+

1

ab

+

1

a(a-b)

-12ac+36c2
=（36c²-12ac+a²）+a2+

1

a

(

1

b

+

1

a-b

)
=(6c-a)2+a2+

1

a

•

a

b(a-b)

=(6c-a)2+a2+

1

b(a-b)

≥a2+

1

b(a-b)

（當6c=a時取等號）
=[b+(a-b)]2+

1

b(a-b)

=b2+(a-b)2+2b(a-b)+

1

b(a-b)

≥2b（a-b）+2b（a-b）+

1

b(a-b)

（當b=a-b即a=2b時取等號）
=4b（a-b）+

1

b(a-b)

≥2

4b(a-b)+ 1 b(a-b)

=4（當且僅當4b（a-b）=

1

b(a-b)

即b（a-b）=

1

2

時取等號）
即2a2+

1

ab

+

1

a(a-b)

-12ac+36c2最小值為4
故答案為：4

點評：本題主要考查了利用基本不等式及二次函數的性質求解函數的最值，解題的關鍵是靈活對已知式子進行變形