Question

若是函數在點附近的某個局部范圍內的最大（小）值，則稱是函數的一個極值，為極值點．已知，函數．
（Ⅰ）若，求函數的極值點；
（Ⅱ）若不等式恒成立，求的取值范圍．
（為自然對數的底數）

Answer 1

（1）的極小值點為1和，極大值點為．
（2）

試題分析：解：（Ⅰ）若，則，．
當時，，單調遞增；
當時，，單調遞減．                   …2分
又因為，，所以
當時，；當時，；
當時，；當時，．           …4分
故的極小值點為1和，極大值點為．                …6分
（Ⅱ）不等式，
整理為．…（*）
設，
則（）
．                       …8分
①當時，
，又，所以，
當時，，遞增；
當時，，遞減．
從而．
故，恒成立．                                           …11分
②當時，
．
令，解得，則當時，；
再令，解得，則當時，．
取，則當時，．
所以，當時，，即．
這與“恒成立”矛盾．
綜上所述，．                                              …14分
點評：解決的關鍵是對于導數在研究函數中的運用，求解極值和最值，以及不等式的恒成立問題，屬于基礎題。