Question

已知函數,，其中R ．
（1）討論的單調性；
（2）若在其定義域內為增函數，求正實數的取值范圍；
（3）設函數, 當時，若存在，對于任意的，總有成立，求實數的取值范圍．

Answer 1

（1）①當時，，在上單調遞增；                    
②當時，由，得；由，得；
故在上單調遞減，在上單調遞增．
（2）
（3）

試題分析：（1）的定義域為，且，
①當時，，在上單調遞增；                    
②當時，由，得；由，得；
故在上單調遞減，在上單調遞增．                      
（2），的定義域為，                        
因為在其定義域內為增函數，所以，
 
而，當且僅當時取等號，所以                                               
（3）當時，，
由得或，當時，；當時，．
所以在上，                      
而在上的最大值為
有分
所以實數的取值范圍是    
點評：解決的關鍵是能根據導數的符號分類討論得到函數單調性，以及根據極值來得到最值，解決不等式的成立，屬于中檔題。