Question

已知函數．
（1）對任意實數，恒有，證明；
（2）若是方程的兩個實根，是銳角三角形的兩個內角，求證：。

Answer 1

（1）詳見解析；（2）詳見解析

試題分析：（1）先將函數變形為，由實數的任意性可得，從而可得。可將問題轉化為時，恒成立。問題即可得證。（2）分析可知時，判別式大于0，且可得兩根與系數的關系式。由是銳角三角形的兩個內角可知 ,,即 ，。用正切的兩角和差公式可求得的值。根據以上不等式即可求得的范圍。問題即可得證。
(1) ∵,
又, ∴,                          2分
恒有, 即時,
恒有, 即,                             4分
∴, 又, 故．                            6分
(2) ，即，
依題意，得                        8分
又A，B為銳角三角形的兩內角，∴，              9分
∴，  10分
因而 ∴．                          12分